史上最强图解Treap总结, 不是浅谈!

大家都很强, 可与之共勉。

Treap = Tree + Heap.
树堆,在数据结构中也称Treap,是指有一个随机附加域满足堆的性质的二叉搜索树,其结构相当于以随机数据插入的二叉搜索树。其基本操作的期望时间复杂度为O(logn)。相对于其他的平衡二叉搜索树,Treap的特点是实现简单,且能基本实现随机平衡的结构。

Treap 维护堆的性质的方法只用到了左旋和右旋, 编程复杂度比Splay小一点, 并且在两者可完成的操作速度有明显优势

开始

每一个节点需要保存至少四个信息,当前节点的数值 ( val ), 优先级 ( key ), 左右儿子 ( ls, rs )。 除此之外, 可能还会保存以该节点为根的树的大小 ( siz ), 以及该节点相同的数个数 ( same )。

typedef class TreapNode  {
public:
    int val;
    int siz, key, same;
    TreapNode *ls, *rs;

    inline TreapNode ( )  {     }
    inline TreapNode ( int val, TreapNode* & node ) : val ( val ), key ( rand ( ) ), siz ( 1 ), same ( 1 ) {    ls = rs = node; }

    inline void update ( )  {
        siz = ls -> siz + rs -> siz + same;
    }
} Node;

当然, 博主是用的指针实现, 指针相比数组有更多的细节需要注意。 在BZOJ-3224中大概比RBT慢2ms。

关于随机函数

< cstdlib > 中的rand ( ) 速度比较慢, 而在数据结构中对于素的如果要求过高, 可以使用手写 rand ( )。

inline int rand ( )  {
    static int seed = 233;
    return seed = ( int ) seed * 482711LL % 2147483647; 
}

其中seed可以随便取一个非零的数。 具体原理是什么, 当然我也不会证明了。

首先是旋转操作

分为左旋和右旋, 我习惯用Zag, Zig来叫。

图解一下
史上最强图解Treap总结, 不是浅谈!_第1张图片
史上最强图解Treap总结, 不是浅谈!_第2张图片

具体的代码如下

一定要记住的是当前节点的要旋转节点为null时, 不转。 否则root很有可能变成null, 将会影响一系列的操作。

inline void Zig ( Node* &nd )  {
    tmp = nd -> ls;
    if ( tmp == null ) return;
    nd -> ls = tmp -> rs;
    tmp -> rs = nd;
    tmp -> siz = nd -> siz;
    nd -> update ( );
    nd = tmp;
}

inline void Zag ( Node* &nd )  {
    tmp = nd -> rs;
    if ( tmp == null ) return;
    nd -> rs = tmp -> ls;
    tmp -> ls = nd;
    tmp -> siz = nd -> siz;
    nd -> update ( );
    nd = tmp;
}

接下来是插入操作

插入的过程中, 一定要满足Treap的特点。
左儿子的值比当前节点小, 右儿子的值比当前节点大。
维护关于key值堆的性质

看完, 你一定会理解原理, 并且熟练掌握。
史上最强图解Treap总结, 不是浅谈!_第3张图片

插入值为18,优先级为20的结点后,违反了最小堆的定义,因此要进行调整,把优先级小的往上提,也就是小的优先级插入的是右子树,那么需要进行一次左旋转( Zag ),这里进行一次旋转过后就OK了。

史上最强图解Treap总结, 不是浅谈!_第4张图片

同样,这种情况左旋转,旋转后发现还是不满足最小堆的定义,并且小优先级的结点在左子树,所以还需要进行右旋转 ( Zig ),如下图所示:

史上最强图解Treap总结, 不是浅谈!_第5张图片

右旋后,还是不满足性质, 还需要左旋 ( Zag ):

史上最强图解Treap总结, 不是浅谈!_第6张图片

当然这是在递归调用之中实现的。

如果该节点为null, 就新开一个。 用构造函数会很方便。
如果遇到插入两个相同的值, 那么该节点的same直接+1就好。
完成每一个节点的插入, 都要update
这个update()操作的优秀之处就在于null空节点, 若使用NULL系统自带的空指针, 那么直接指向左右儿子就会指出去, 报错。。。

代码如下:

inline void Insert ( Node* &nd, int& val )  {
    if ( nd == null )  {
        nd = ++tail;
            *nd = Node ( val, null );
        return;
    }

    if ( nd -> val == val )  ++nd -> same;
    else  {
        if ( val > nd -> val )  {
            Insert ( nd -> rs, val );
            if ( nd -> rs -> key < nd -> key )
            Zag ( nd );
        }   else  {
            Insert ( nd -> ls, val );
            if ( nd -> ls -> key < nd -> key )
                Zig ( nd );
        }
    }

    nd -> update ( );
}

之后是删除操作

注意:

这是二叉树删除法
对比插入, 相对于删除要复杂一些, 可以直接看代码明白。

不要忘了update()!!!

inline void Delete ( Node* &nd, int x )  {
    if ( nd == null )  return;
    if ( nd -> val == x )  {
        if ( nd -> same > 1 )  {
            --nd -> same; nd -> update ( ); return;
        }
        if ( nd -> ls == null && nd -> rs == null ) { nd = null; return;  }
        else if ( nd -> ls == null && nd -> rs )  nd = nd -> rs;
        else if ( nd -> ls && nd -> rs == null )  nd = nd -> ls;
        if ( nd -> ls -> key < nd -> rs -> key ) { Zig ( nd ); Delete ( nd -> rs, x );  }
        else  { Zag ( nd ); Delete ( nd -> ls, x );  }
    }  else if ( x > nd -> val )  Delete ( nd -> rs, x );
            else  Delete ( nd -> ls, x );
    nd -> update ( );
}

主要的就是这两个那么还有前驱,后驱,排名,第K大。

那么唯一注意的是前后驱在题目中的定义。

如BZOJ-1588

前后驱可以等于节点数值本身
那么就应该这么写

inline int query_pre ( Treap* &nd, int val )  {
    if ( nd == null )  return 0xefefefef;
    if ( val < nd -> val )
        return query_pre ( nd -> ls, val );
    return max ( nd -> val, query_pre ( nd -> rs, val ) );
}

inline int query_post ( Treap* &nd, int val )  {
    if ( nd == null )  return 0x7fffffff;
    if ( val > nd -> val )
        return query_post ( nd -> rs, val );
    return min ( nd -> val, query_post ( nd -> ls, val ) );
}

如果是BZOJ-3224, 读错题了就Wa爽了。。。

inline void query_pre ( Node* &nd, int &ans, int val )  {
    if ( nd == null )  return;
    if ( val > nd -> val )
        ans = nd -> val, query_pre ( nd -> rs, ans, val );
    else query_pre ( nd -> ls, ans, val );
}

inline void query_post ( Node* &nd, int &ans, int val )  {
    if ( nd == null )  return;
    if ( val < nd -> val )
        ans = nd -> val, query_post ( nd -> ls, ans, val );
    else query_post ( nd -> rs, ans, val );
}

当然根据定义也可以用kth 与 rank 两者一起求出前后驱。

具体代码及细节请读者自己推敲

给出完整版参考代码
注意的是 Init( ) 中的 null 维护的节点信息。

#include 

unsigned int seed, n, opt;

int ans, x;

inline int rand ( )  {
    return seed = ( int ) seed * 482711LL % 2147483647; 
}

typedef class TreapNode  {
public:
    int val;
    int siz, key, same;
    TreapNode *ls, *rs;

    inline TreapNode ( )  {     }
    inline TreapNode ( int val, TreapNode* & node ) : val ( val ), key ( rand ( ) ), siz ( 1 ), same ( 1 ) {    ls = rs = node; }

    inline void update ( )  {
        siz = ls -> siz + rs -> siz + same;
    }
} Node;

Node *pool, *root, *tail, *null, *tmp;

inline void Init ( )  {
    seed = 233;
    pool = new Node [ n + 5 ];
    root = null = tail = pool;
    null -> siz = 0, null -> same = 0, null -> val = 0, null -> key = rand( ), null -> ls = null -> rs = null;
}

inline void Zig ( Node* &nd )  {
    tmp = nd -> ls;
    if ( tmp == null ) return;
    nd -> ls = tmp -> rs;
    tmp -> rs = nd;
    tmp -> siz = nd -> siz;
    nd -> update ( );
    nd = tmp;
}

inline void Zag ( Node* &nd )  {
    tmp = nd -> rs;
    if ( tmp == null ) return;
    nd -> rs = tmp -> ls;
    tmp -> ls = nd;
    tmp -> siz = nd -> siz;
    nd -> update ( );
    nd = tmp;
}

inline void Insert ( Node* &nd, int& val )  {
    if ( nd == null )  {
        nd = ++tail;
            *nd = Node ( val, null );
        return;
    }

    if ( nd -> val == val )  ++nd -> same;
    else  {
        if ( val > nd -> val )  {
            Insert ( nd -> rs, val );
            if ( nd -> rs -> key < nd -> key )
            Zag ( nd );
        }   else  {
            Insert ( nd -> ls, val );
            if ( nd -> ls -> key < nd -> key )
                Zig ( nd );
        }
    }

    nd -> update ( );
}

inline int kth ( Node* &nd, int k )  {
    int tmp = nd -> ls -> siz + nd -> same;
    if ( nd -> ls -> siz < k && k <= tmp )  return nd -> val;
    return nd -> ls -> siz >= k ? kth ( nd -> ls, k ) : kth ( nd -> rs, k - tmp );
}

inline void Delete ( Node* &nd, int x )  {
    if ( nd == null )  return;
    if ( nd -> val == x )  {
        if ( nd -> same > 1 )  {
            --nd -> same; nd -> update ( ); return;
        }
        if ( nd -> ls == null && nd -> rs == null ) { nd = null; return;  }
        else if ( nd -> ls == null && nd -> rs )  nd = nd -> rs;
        else if ( nd -> ls && nd -> rs == null )  nd = nd -> ls;
        if ( nd -> ls -> key < nd -> rs -> key ) { Zig ( nd ); Delete ( nd -> rs, x );  }
        else  { Zag ( nd ); Delete ( nd -> ls, x );  }
    }  else if ( x > nd -> val )  Delete ( nd -> rs, x );
            else  Delete ( nd -> ls, x );
    nd -> update ( );
}

inline int query_rank ( Node* &nd, int x )  {
    if ( nd == null )  return 0;
    if ( nd -> val == x )  return nd -> ls -> siz + 1;
    else  return  ( x > nd -> val ) ? nd -> ls -> siz + nd -> same + query_rank ( nd -> rs, x )
                                    : query_rank ( nd -> ls, x );
}

inline void query_pre ( Node* &nd, int &ans, int val )  {
    if ( nd == null )  return;
    if ( val > nd -> val )
        ans = nd -> val, query_pre ( nd -> rs, ans, val );
    else query_pre ( nd -> ls, ans, val );
}

inline void query_post ( Node* &nd, int &ans, int val )  {
    if ( nd == null )  return;
    if ( val < nd -> val )
        ans = nd -> val, query_post ( nd -> ls, ans, val );
    else query_post ( nd -> rs, ans, val );
}

using std :: cin;
using std :: cout;
using std :: endl;

int main ( )  {
    cin >> n;
    Init ( );
    register int i = 1;
    loop :;  {
        cin >> opt >> x;
        switch ( opt )  {
            case 1:
                Insert ( root, x );  break;
            case 2:
                Delete ( root, x );  break;
            case 3:
                cout << query_rank( root, x ) << endl; break;
            case 4:
                cout << kth ( root, x ) << endl; break;
            case 5:
                query_pre ( root, ans, x ); cout << ans << endl; break;
            case 6:
                query_post ( root, ans, x ); cout << ans << endl; break;
        }
    }  if ( ++i <= n )  goto loop;
}

你可能感兴趣的:(平衡树)