二分图最大匹配算法——匈牙利算法
先看看洛谷上面的二分图匹配有关匈牙利算法的题目。
题目背景
二分图
题目描述
给定一个二分图，结点个数分别为n,m，边数为e，求二分图最大匹配数
输入输出格式
输入格式：
第一行，n,m,e
第二至e+1行，每行两个正整数u,v，表示u,v有一条连边
输出格式：
共一行，二分图最大匹配
输入输出样例
| 输入 | 输出 |
| 1 1 1 1 1 |
1 |
二分图匹配：
二分图匹配，自然要先从定义入手，那么二分图是什么呢？
二分图：
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
简单的说，一个图被分成了两部分，相同的部分没有边，那这个图就是二分图，二分图是特殊的图。
匹配：
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
求二分图匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)
注意匈牙利算法，除了二分图多重匹配外在二分图匹配中都可以使用。
注：二分图匹配中还有一个hk算法，复杂度为o（sqrt（n）*e）由于复杂度降低较低，代码量飙升而且绝大多数情况下没人会闲的卡个sqrt的复杂度。。在此先不讲了，有兴趣可以自己百度，貌似卡这个算法的只有hdu2389
嘛 首先我们讲解一下匈牙利算法的过程：
匈牙利算法：
实现过程详解
匈牙利算法几乎是二分图匹配的核心算法，除了二分图多重匹配外均可使用
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：
通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。
本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：
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一： 先试着给1号廖老师找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线
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二：接着给2号王老师找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it
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三：接下来是3号石老师，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？
我们试着给之前1号女生匹配的老师（也就是1号廖老师）另外分配一个妹子。
(黄色表示这条边被临时拆掉)
与1号廖老师相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)
此时发现2号王老师还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去
2号王老师可以找3号妹子~~~
1号廖老师可以找2号妹子了~~~
3号石老师可以找1号妹子
所以最终结果便是如此
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四： 接下来是4号屈老师，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号屈老师腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……屈老师走好。
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这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个搜索或者递归的过程，最最关键的字就是“腾”字
其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上
练习题：洛谷P3386：
洛谷P3386就是一道裸二分图最大匹配的问题，直接上匈牙利算法即可。
下面是我AC的代码：
#include
#include
using namespace std;
bool d[1010][1010],b[1010];
int pp[1010],n,m,e,ans;
bool dfs(int k){
for(int i=1;i<=n;i++) //扫描每个妹子
if(d[k][i] && !b[i]){
//如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改
//变过该妹子的归属问题，但是没有成功，所以就不用瞎费工夫了）
b[i]=true;
if(!pp[i] || dfs(pp[i])){
//名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归
pp[i]=k;
return true;
}
}
return false;
}
int main(){
cin>>n>>m>>e;
for(int i=0;i>u>>v;
if(u>n || v>m)
continue;
d[u][v]=true;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=1;j<=m;j++)
b[j]=false;
if(dfs(i))
ans++;
}
cout<