《编程之美》--“1的数目”笔记

1的数目

给定一个是十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现的所有“1”的个数。

例如：

N=2，写下1，2。这样只出现了1个“1”。

N=12，我们会写下1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。这样，1的个数是5。

问题：写一个函数f（N），返回1到N之间出现的“1”的个数，比如f（12）=5；

解法：
仔细分析这个问题，给定了N，似乎就可以通过分析“小于N 的数在每一位上可能出现1的次数”之和来得到这个结果。对于一个特定的N，分析其中的规律。

先看1位数的情况
只要N>=1，那么f（N）都等于1。否则f（N）为0；

再看2 位数的情况。
如果N=13.那么从1到13的所有数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，个位和十位的数字都可能有1，我们可分开考虑。个位出现1的次数有两次：1和11，十位出现1的次数有4次：10、11、12和13，所以f（N）=2+4=6。要注意的是11这个数学在十位和个位都出现了1，但是11恰好分别被计算了一次，所以不用特殊处理。再考虑N= 23 的情况，它和N= 13 有点不同，十位出现1的次数为10次，从10到19，个位出现1的次数为1、11和21，所以f (N) =3+10= 13。通过对两位数进行分析，我们发现，个位数出现1的次数不仅和个位数字有关，还和十位数有关: 如果N的个位数大于等于I，则个位出现1的次数为十位数的数子加1； 如果N的个位数为0，则个位出现1的次数等于十位数的数字。而十位数上出现1的次数也类似: 如果十位数
字等于1，则十位数上出现1 的次数为个位数的数字加1; 如果十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。
f(13) =  一个位出现1的个数+ 十位出现1的个数=2+4=6:
f(23) =  一个位出现1的个数+ 十位出现1的个数=3+10=13;
f(33) = 一个位出现1的个数+ 十位出现1的个教=4+10 =14;

...
f(93) = 一个位出现1的个数+  十位出现1的个数=10+10= 20;

接着分析3 位数。
如果N= 123:
个位出现1的个数为13:1,11,21，...，91,101,111,121
十位出现1的个数为20：10~19，110~119

百位出现1的个数为24: 100~123
f(123)= 个位出现1的个数+十位出现1的个数十百位出现1的次数=13+20+24=57;
同理我们可以再分析4 位数、5位数。

根据上面的尝试，下面我们推导一般情况下，从N得到f(N) 的计算方法。
假设N=abcde，这a、b、c、d、e分别是十进制数N的各个数位上的数字。如果要t计算百位上出现1的次数，它将会受到三个因素的影响:百位上的数字，百位以下(低位) 的数字，百位(更高位) 以上的数字。
如果百位上的数字为0，可知，百位上可能出现1的次数由更高位决定，比如12013，百位出现1的情况可能是100~199，1100~2199，2100~2199，...，11100~11199，共有1200个。也就是由更高位数字(12)决定，并且等于更高位数字(12) x当前
位数(100)。

如果百位上的数字为1，可知，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响。例如对于12 113，受更高位影响，百位出现1的情况是100~199，1100~1199，2100~2 199，...，11100~11199，一共1200 个，等于更高位数字( 12) x当前位数(100)。但是它还受低位影响，百位出现1的情况是12 100~ 12 113，一共114个，等于低位数字(113) +1。

如果百位上数字大于1(即为2~9)，则百位上可能出现1的次数仅由更高位决定，比如12213，则百位出现1的可能性为: 100~199，1100~1199，2 100~2 199，...，1，100~1199，12 10~12199，一共有1300个，并且等于更高位数字加1，再乘以当前位数，即(12+ 1) X100。

以上为《编程之美》中的原文，以下便是自己写的

#include
int main()
{
	int N,lower=0,higher=0,dang=0;//lower低位，higher高位，dang当前
	int wei=1,sum=0;
	scanf("%d",&N);
	while(N/wei)
	{
		lower=N-N/wei*wei;
		dang=N/wei%10;
		higher=N/(wei*10);
		switch(dang)
		{
			case 0:
				sum+=higher*wei;
				break;
			case 1:
				sum+=higher*wei+lower+1;
				break;
			default:
				sum+=(higher+1)*wei;
				break;
		}
		wei*=10;
	}
	printf("%d\n",sum);
	return 0;
}