Combinatorics——HDUOJ 1261 - 字串数（多重集合排列组合）

原题：

• Problem Description

  一个A和两个B一共可以组成三种字符串:”ABB”,”BAB”,”BBA”.
  给定若干字母和它们相应的个数,计算一共可以组成多少个不同的字符串.

• Input

  每组测试数据分两行,第一行为n(1<=n<=26),表示不同字母的个数,第二行为n个数A1,A2,…,An(1<=Ai<=12),表示每种字母的个数.测试数据以n=0为结束.

• Output

  对于每一组测试数据,输出一个m,表示一共有多少种字符串.

• Sample Input

  2
  1 2
  3
  2 2 2
  0

• Sample Output

  3
  90

多重集合的排列组合可参考：http://blog.csdn.net/kennyrose/article/details/7469528

设多重集合S = { n1 * a1, n2 * a2, …, nk * ak }; n = n1 + n2 + … + nk
即集合 S 中含有n1个元素a1， n2个元素a2，…，nk个元素ak，ni被称为元素ai的重数，k成为多重集合的类别数
在 S 中任选 r 个元素的排列称为S的r排列，当r = n时，有公式 1：A( n ; n1×a1, n2×a2, …, nk×ak ) = n! / ( n1! × n2! ×…× nk! )
在 S 中任选 r 个元素的组合称为S的r组合，当r<=任意ni时，有公式 2：C( n ; n1×a1, n2×a2, …, nk×ak ) = C( k+r-1, r )

解题思路：
1. 运用公式1进行运算，公式1也可以理解为先对所有的字母（包括重复的）进行全排列，然后再通过除以每种字母个数的阶层来消除重复个数，这样也可以求出结果。
2. 对于公式1，可以先进行分子的大数乘法N!运算，保存起来再通过大数除法求得结果（分母的阶层不需要另外算，直接通过循环除以1~n1||1~n2…….||1~nk）
3. 对于公式1，也可以边算分母边除以分子，这样节省时间效率也高（下面代码便使用此方法）

代码：

#include
#include 
#include 
using namespace std;
int N[26];//每个字母对应的个数
string SUM;
void Calculate(int n,int k)
{
    int SUMlength = SUM.length();
    int i, CarryBit = 0, temp;
    for(i = 0; i <= SUMlength - 1; i++)//大数乘法->相当于公式中分子的阶层的乘法运算
    {
        temp = (SUM[i] - '0')*n + CarryBit;
        SUM[i] = char(temp % 10 + '0');
        CarryBit = temp / 10;
    }
    if(CarryBit > 0)//继续向前进位
    {
        string CB = to_string(CarryBit);
        reverse(CB.begin(), CB.end());//将CB字符串反转
        SUM = SUM + CB; 
    }
    //------------------------------------------------
    long long  BackBit = 0;//退位（方便理解）
    SUMlength = SUM.length();
    for (i = SUMlength - 1; i >= 0; i--) {//大数除法->相当于公式中的分母，除以字母个数的阶层
        BackBit = (SUM[i] - '0') + BackBit * 10;
        SUM[i] = char(BackBit / k + '0');
        BackBit = BackBit % k;
    }//公式结果肯定为整数
}
int main()
{
    int n;//n个字母
    int i, j;
    int n_sum;//所有字母个数总和
    int SUMLength;
    while (scanf("%d",&n)&&n!=0)
    {
        n_sum = 0;
        SUM = "1";
        for(i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d", &N[i]);
            for (j = 1; j <= N[i]; j++)
                //SUM×(n_sum+1到n_sum+N[i]),SUM÷(1到N[i]) 【刚好符合多重集合排列公式】
                Calculate(n_sum + j, j);
            n_sum += N[i];
        }
        SUMLength = SUM.length();
        for (i = SUMLength - 1; i >= 0; i--)
            if (0 == (SUM[i] - '0'))
            {
                SUM.erase(i);//把高位多余0去掉
            }
            else break;//注意：记得及时跳出
        reverse(SUM.begin(), SUM.end());
        cout << SUM <