用牛顿法求算术平方根python

用牛顿法求算术平方根

要求

不用数学库函数sqrt()函数求一个数的平方根

解法

采用牛顿迭代法也就是牛顿法求解

通过迭代公式来求得f(x)=0的解

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$

这个公式源于泰勒展开式
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^n(x_0)(x-x_0{)}^n$$
如果只考虑前两项的话，那么就可以得到一个近似的等式
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$
令f(x)=0，对x求解，就可以得到一个近似解
$$x=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$$
得到迭代公式后，就可以进行求解了

求一个数m的算术平方根，也就是对 $x^2-m=0$ 求解

将f(x)和f’(x)=2x代入上面的迭代公式，可以得到
$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-m}{2x_n}=\frac{x_n}{2}-\frac{m}{2x_n}$$

python实现

def newton(m):
    x0=m/2           #初始化初始点，任意点即可
    x1=x0/2+m/(x0*2)   
    while abs(x1-x0)>1e-5:   #精确到小数点后四位，近似解十分接近的时候停止迭代
        x0=x1
        x1 = x0 / 2 + m / (x0 * 2)
    return x1
print('%.4f'%newton(2))

运行结果

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