整除运算与取模运算

凡是呈现明显周期性的，比如十二生肖（以十二为周期），比如星期（以 7 为周期），比如天干（以 10 为周期），比如地支（以 12 为周期），最佳的解决方案就是取模（或者简单地说对该周期取余数）。

• 两个整数间能够整除（余数为 0）的全部意义正在于 ⇒ 实现均分；

  • 10 个小朋友，两两分组，共分 5 组；
  • 10 个小朋友，55分组，共分 2 组；
  • 在比如质数个小朋友（如 7 个），就没办法实现均匀的分配人数了；

• 在 C语言的环境下，将一个整数对 2 不断地做整除：

  • 0/2 ⇒ 0, 1/2 ⇒ 0
  • 2/2 ⇒ 1, 3/2 ⇒ 1,
  • 4/2 ⇒ 2, 2/2 ⇒ 1
  • 5/2 ⇒ 2, 2/2 ⇒ 1

  也即除了 0/1 之外的任何正整数，不论是奇数还是偶数，不断地对 2 整除的最终结果都会是 1；
  15/2 = 7 /2 = 3 /2 =1

1. 截断低位与抹除高位

如果一个数（二进制形式 n 位）对 2k 整除和取模：

• （1）整除是截断低位（k），保留高位（n-k）；
• （2）取模运算是抹除最高比特位（要求 k = n-1）；

不妨以 10（1010） 和 8（1000） 为例：

• （1）整除：10/8 == 1
• （2）取模：10%8 == 010 == 2

2. 整除：降低分辨率，取模运算：转换值域

• 整除：降低分辨率，
• 取模：转换值域

2.1 整除

[0,5)5⇒0[5,10)5⇒1⋮[5n,5n+1)5⇒n

2.2 取模

x%5⇒[0,5)/0,1,2,3,4x%N⇒[0,N)/0,1,2,…,N−1

3. 计算星期几

3.0 计算十天后是星期几

10%7=3

就以今天 2016 年 6 月 22 为星期三，一周也即 7 天后的仍是星期三，则10天后是星期六，10 对 7 取模的含义正在与，获取余数，3（星期三）+3（余数3） = 6。

3.1 计算元旦的星期

计算星期几，不可避免地要同 7 的取模运算挂上联系。

• 平年：365天，52 周余 1 天；
• 闰年：366天，52 周余 2 天；

2016 年的元旦是星期 5，则 2017 年元旦是星期星期日（5+2=7），2016年是闰年。

3.2 计算任意一天的一年后的这一天是星期几

我们继续升级这一问题，计算任意一天的一年后的这一天是星期几。这道题目比计算元旦稍微复杂的是，需要判断这一天到一年后的今天所跨越的 2 月是有 28 天还是 29 天，而不直接取决当年是否是闰年。

以 2016 年 6 月 22 日为例，这一天是星期三，则一年后的今天，即 2017 年 6 月 22 是星期几？

从 2016 年 6 月 22 到 2017 年 6 月 22 中间经历的 2 月，是 2017 年的二月，28天，也即从 2016年 6 月 22 到 2017 年 6 月22，所经历的一年是 365 天。

则 2017 年 6 月 22 是 星期 4 （3 + 1）.

4. 计算十二生肖

• （1）鼠，（2）牛，（3）老虎，（4）兔
• （5）龙，（6）蛇，（7）马，（8）羊
• （9）猴，（10）鸡，（11）狗，（12）猪

查阅万年历可知：1900 年是鼠年，2000 年是龙年，

比如我们要计算 1987 年的属相，87 % 12 = 3，鼠年之后的第四年，那就是 4 兔。

比如我们要获得 2016 年的属相，16 % 12 = 4，龙年之后的第四年，那就是 4+5 = 9 猴年。

5. 限定范围

一个数对 A 取模，所得的结果要小于 A，取模相当于除法运算的求余，余数自然小于除数；