多项式的余数定理及其应用

多项式的余数定理及其应用(C++)

$f(x)$ 是一个 $N$ 次多项式： $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_N{x}^N$

那么 $f(x)$ 被 $(x-c)$ 除得到的商等于 $f(c)$。 也就是如果

$$f(x)=Q(x)(x-c)+r$$

那么 ：$r=f(c)$

利用这个定理，可以将计算 $f(c)$ 转化为计算 $r$。如果计算 $r$ 有快速算法，那么就可以快速计算出 $f(c)$。 下面就来推导如何计算 $r$。

设：
$$\begin{gathered} f(x)=\sum _{i=0}^N{a}_i{x}^i \\ Q(x)=\sum _{i=0}^{N-1}{b}_i{x}^i \end{gathered}$$

那么有：
$$\begin{gathered} \sum _{i=0}^N{a}_i{x}^i=(x-c)\sum _{i=0}^{N-1}{b}_i{x}^i+r \\ =b_{N-1}{x}^N+\sum _{i=1}^{N-1}(b_{i-1}-c{b}_i)x^i-b_{0}c+r \end{gathered}$$

两边同幂次的项相等：
$$\begin{gathered} a_N=b_{N-1} \\ {a}_i=b_{i-1}-c{b}_i,(i=1,2,\cdots N-1) \\ {a}_0=-c{b}_0+r \end{gathered}$$

所以：

$$\begin{gathered} b_{N-1}=a_N \\ {b}_i=a_{i+1}+c{b}_{i+1} \\ r=a_0+c{b}_0 \end{gathered}$$

了解多项式的 Horner 公式的人可能会发现，这里的公式怎么和 Horner 公式几乎一样。确实，这里其实就是 Horner 公式的另一种解释方法。

按照这个思路我们就可以写个 C 函数。

/**
 * @brief polydiv 计算 p(x) / (x - a) 的商和余数
 * @param p 多项式的系数，p0 .. pn
 * @param n 多项式的次数
 * @param q 结果返回 r, q0, q1, ... qn-1 ,注意第一个数是余数
 * @return 返回的也是余数，也等于 p(a) 的值
 */
double polydiv(double p[], int n, double a, double q[])
{
    q[n] = p[n];
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        q[i] = p[i] + a * q[i+1];
    }
    return q[0];
}

当然，如果我们不需要返回 q[]，可以简化为：

/**
 * @brief polyeval 利用 Horner 公式计算多项式的值
 * @param p 多项式的系数 a0, a1, a2,\cdots a_n
 * @param n 多项式的次数 n
 * @param x 要计算的值
 * @return 返回多项式在 x 点的值
 */
double polyeval(double p[], int n, double x)
{
    double r = 0;
    while (n >= 0)
    {
        r = p[n] + r * x;
        n--;
    }
    return r;
}

实际上，我们还可以更进一步，考虑另一个问题。
$f(x)$ 是一个 $N$ 次多项式： $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_N{x}^N$

有时我们需要将它变换为另一个等价的多项式 $q(x)=b_0+b_1(x-c)+\cdots +b_N(x-c{)}^N$

那么如何通过 $a_0,a_1,\cdots ,a_N$ 来得到 $b_0,b_1,\cdots ,b_N$。

我们同样设：
$$f(x)=Q_1(x)(x-c)+r_0$$

把 $x=c$ 带入，可以很容易验证 $b_0=f(c)=r_0$

再继续设：
$$Q_1(x)=Q_2(x)(x-c)+r_1$$

同样的方法可以验证：$b_1=Q_1(c)=r_1$

这个过程反复做下去就可以依次得到 $b_0,b_1,\cdots ,b_N$

这个计算过程张，系数的变化如下：

$$\begin{gathered} a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,\cdots ,a_N \\ {r}_0,b_0,b_1,b_2,b_3,\cdots ,b_{N-1} \\ {r}_0,r_1,c_0,c_1,c_2,\cdots ,c_{N-2} \\ {r}_0,r_1,r_2,d_0,d_1,\cdots ,d_{N-3} \\ \cdots \\ {r}_0,r_1,r_2,r_3,r_4,\cdots ,r_N \end{gathered}$$

为了实现这个过程，我们需要对刚刚写的 polydiv 函数做些修改，让它在原位修改各个系数的值。

/**
 * @brief polydiv2 计算 p(x) / (x - a) 的除数和余数。
 * @param p 多项式的系数，p0 .. pn，同时计算结束后也返回 r, q0, q1, ... qn-1
 * @param n 多项式的次数
 * @param a
 * @return 返回的也是余数，也等于 p(a) 的值
 */
double polydiv2(double p[], int n, double a)
{
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        p[i] = p[i] + a * p[i+1];
    }
    return p[0];
}

/**
 * @brief polyshift 将 x 的多项式变换为 (x-a) 的多项式
 * @param p 多项式的系数，p0 .. pn, 计算结束后返回新的系数
 * @param n 多项式的次数
 * @param a 将  (x - a)
 */
void polyshift(double p[], int n, double a)
{
    for(int i = n; i >= 1; i--)
    {
        polydiv2(p, i, a);
        p++;
    }
}

下面是个测试用例：

有一个多项式：$f(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5$
将其变换为 $(x-5.5)$ 的形式，用 Mathematica 可以算出是：
$$f(x)=35540.6+31177.4(x-5.5)+10959(x-5.5{)}^2+1929(x-5.5{)}^3+170(x-5.5{)}^4+6(x-5.5{)}^5$$

Mathematica 的代码如下：

p = 1 + 2 x + 3 x^2 + 4 x^3 + 5 x^4 + 6 x^5
Expand[p /. {x -> y + 5.5}] /. {y -> x - 5.5}

C++ 的验证代码如下：

    double ax[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
    polyshift(ax, 5, 5.5);

    for(int i = 0; i <= 5; i++)
    {
        std::cout << ax[i] << std::endl;
    }

计算结果如下：

35540.6
31177.4
10959
1929
170
6

说明这个代码是正确的。
至此，这个问题就算是比较圆满的解决了。