LeetCode 338. 比特位计数 (DP、位运算)

比特位计数

• 暴力，主要使用了lowbit运算。

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int num) {
        vector<int> ans;
        int cnt[32] = {0};
        for(int i=0;i<=num;i++){
            ans.push_back(get1(i));
        }
        return ans;
    }
    int get1(int n){
        int res = 0;
        while(n){
            res++;
            n -= n&(-n);
        }
        return res;
    }
};

• DP解法，从最低位到最高位，将每一位放置1或0作为DP的阶段。
  比如：

第1阶段
0000 -> 0001
第二阶段
0000 -> 0010
0001 -> 0011
第三阶段
0000 -> 0100
0001 -> 0101
0010 -> 0110
0011 -> 0111

这有点类似用二进制拆分进行倍增的想法，对应的DP的子结构问题。
比如，对于原问题，如果想知道$[0,15]$的情况，要是在已经知道$[0,7]$基础上，
比如$[a0,a1,a2,a3,\dots \dots ，a7]$那么$[a8,a9,a10,a11.\dots \dots a15]=[a0+1,a1+1,\dots \dots a7+1]$

DP方程:
$$dp[i+b]=dp[i]+1,b\in [2^p],p=0,1,2,3,\dots \dots$$

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int num) {
        vector<int> dp(num+1,0);
        int p = 0;
        while((1<<p)<=num){
            for(int i=0;i<(1<<p) && i<=num-(1<<p);i++){
                dp[i+(1<<p)] = dp[i]+1;
            }
            p++;
        }
        return dp;
    }
};

或者分析最低位可能更加明显，直接上DP方程：
$$dp[x]=dp[x/2]+(x\%2)$$
这样从小到大进行递推，在进行计算x时，x/2就已经算好了。
DP的阶段仍然是二进制下的位数。

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int num) {
        vector<int> ans(num+1,0);
        for(int i=1;i<=num;i++){
            ans[i] = ans[i>>1] + (i&1);
        }
        return ans;
    }
};