Quake III中不可思议的求解平方根实现方法
任何一个3D引擎都是通过其内部的数学模型和实现工具来展现它的力量与速度的,and trust John Carmack of ID software for using really good hacks. 结果,Quake III中使用了一个非常有意思的技巧来计算平方根倒数(inverse square root)
前言
ID software最近发布了它的带有Gpl许可证的Quake III引擎源代码,在这篇文章中我们将会看到Carmark是怎样用他的black magic来极其迅速地计算一个浮点数的平方根的。
Carmack's 不寻常平方根倒数
对文件game/code/q_math.c的快速一瞥就显示出了许多有趣的performance hacks。
第一个跳出来的便是对函数Q_rsqrt中对0x5f3759df的使用,这个数计算了一个浮点数的inverse square root,但是为什么这个函数有这样的功能呢?
观察q_math.c原本的函数:
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the *?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
return y;
}
br/>它不仅有效,甚至在某些CPU上,Carmack的Q_rsqrt 比(float)(1.0/sqrt(x)的计算快4倍,尽管sqrt()通常使用的是FSQRT的汇编指令!
在另一个文件code/common/cm_trace.c 中,我们发现了更简洁的对同样HACK的实现。这一次,它被用来计算一个float - sqrt(x)的平方根。注意,其中的唯一不同是在返回值上--用返回*y取代了返回y。
/*
================
SquareRootFloat
================
*/
float SquareRootFloat(float number) {
long i;
float x, y;
const float f = 1.5F;
x = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y;
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( f - ( x * y * y ) );
y = y * ( f - ( x * y * y ) );
return number * y;
}
牛顿对根的近似值
上面的代码执行了众所周知的牛顿对根的近似值[3],像绝大多数其它迭代求近似值的计算一样,牛顿近似值假定是迭代的;每一次迭代都增强了它的准确度直至达到需要的准确度。
在牛顿近似值中的一般想法是我们我们猜测一个数x的平方根值y,我们可能通过一个简单的操作用x/y来拉平y来取得更好的猜测,使其更接近实际的平方根,例如,我们像下面这样计算2的平方根,我们假定初始的猜测是1:
2/1 = 2 ; (2 + 1) / 2 = 1.5
2/1.5 = 1.3333; ( 1.5 + 1.3333 ) / 2 = 1.4167
2/1.4167 = 1.4117; ( 1.4167 + 1.4117 ) / 2 = 1.4142
And so on...
如前面所提到的,牛顿的近似值是一个大家所熟知的用以快速计算平方根的方法。但是,Carmack在初始的猜测中就选取的不寻常的值,它彻底加强了准确度并且将Quake III中计算所要的值的迭代次数降到了1次!
魔数
这个函数中真正有意思的方面是神奇的常量0x5f3759df,用来计算初始猜测的,在
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
因此,把输入除以2并从神奇常量中减去。这个常数工作起来几乎是完美的--对于一个 low relative error of 10^-3来说只要一次牛顿近似值迭代就够了。如评论中第二次迭代中展示的,这个近似值对Quake III引擎来说已经足够了。
结果,这个神奇的常数0x5f3759df成了一个迷了,在文章"Fast Inverse Square Root" [2] ,普度大学的数学家Chris Lomont研究了这个常数,用了几种精细的技术,Lomont想自己用数学方法求出这个常数来,结果令人惊奇--Lomont用数学方法计算出来的最佳常数(0x5f37642f)有一点点不同,并且除了理论上强一些之外,它产生的结果并没有源代码中使用的原始常数好!确实,John Carmack 一定用了天才般的黑盒来找到这个常数。
只在仅仅从数字上来找的方法中,Lomont找到了一个更好的常数,这个数比原始的那个强了那么一点点。然而,实践中两个常数产生了大概相同的结果,Lomont提出这个使用了更好的常数的函数:
float InvSqrt(float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x; // get bits for floating value
i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
x = *(float*)&i; // convert bits back to float
x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
return x;
}