并查集详解

并查集

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并查集（Union-find Sets）是一种非常精巧而实用的数据结构，他主要用于处理一些不相交集合的合并问题。一些常见的用途有求连通子图、求最小生成树的Kruskal算法和求最近公共祖先（Least Common Ancestors，LCA）等

使用并查集时，首先会存在一组不相交的动态集合 S={S₁, S₂,⋯,S_k}，一般都会使用一个整数表示集合中的一个元素。

每个集合可能包含一个或多个元素，并选出集合中的某个元素作为代表。每个集合中具体包含了哪些元素是不关心的，具体选择哪个元素作为代表一般也是不关心的。我们关心的是，对于给定的元素，可以很快的找到这个元素所在的集合（的代表），以及合并两个元素所在的集合，而且这些操作的时间复杂度都是常数级的

并查集的基本操作有三个：

1. makeSet(s)：建立一个新的并查集，其中包含s个单元素集合
2. unionSet(x, y)：把元素 x 和元素 y 所在的集合合并，要求 x 和 y 所在的集合不相交，如果相交则不合并。
3. find(x)：找到元素 x 所在的集合的代表，该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要将他们各自的代表比较一下就可以了。

并查集的实现原理也比较简单，就是使用树来表示集合，树的每个节点就表示集合中的一个元素，树根对应的元素就是该集合的代表，如下图所示。

图中有两棵树，分别对应两个集合，其中第一个集合为{a, b, c, d}，代表元素是a；第二个集合为{e, f, g}，代表元素是e。

树的节点表示集合中的元素，指针表示指向父节点的指针，根节点的指针指向自己，表示其没有父节点。沿着每个节点的父节点不断向上查找，最终就可以找到该树的根节点，即该集合的代表元素。

现在，应该可以很容易的写出 makeSet 和 find 的代码了，假设使用一个足够长的数组来存储树节点，那么 makeSet 要做的就是构造出如下图的森林，其中每个元素都是一个单元素集合，即父节点是其自身：

相应的代码如下所示，时间复杂度是 O(n)：

const int MAXSIZE = 500;
int uset[MAXSIZE];

void makeSet(int size){
    for(int i = 0; i < size; i++)
        uset[i] = i;
}

接下来，就是find操作了，如果每次都沿着父节点向上查找，那时间复杂度就是树的高度，完全不可能达到常数级。这里需要应用一种非常简单而有效的策略——路径压缩。

路径压缩，就是在每次查找时，令查找路径上的每个节点都直接指向根节点，如下图：

我准备了两个版本的 find 操作实现，分别是递归版和非递归版，不过两个版本目前并没有发现有什么明显的效率差距，所以具体使用哪个完全凭个人喜好了。

int find(int x){
    if(x != uset[x])
        uset[x] = find(uset[x]);
    return uset[x];
}

int find(int x){
    int p = x, t;
    while(uset[p] != p)
        p = uset[p];
    while(x != p){
        t = uset[x];
        uset[x] = p;
        x = t;
    }
    return x;
}

最后是合并操作 unionSet，并查集的合并也非常简单，就是将一个集合的树根指向另一个集合的树根，如图所示。

这里也可以应用一个简单的启发式策略——按秩合并。该方法使用秩来表示树高度的上界，在合并时，总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根。简单的说，就是总是将比较矮的树作为子树，添加到较高的树中。为了保存秩，需要额外使用一个与 uset 同长度的数组，并将所有元素都初始化为 0。

void unionSet(int x, int y){
    if((x = find(x)) == (y = find(y)))
        return;
    if(rank[x] > rank[y])
        uset[y] = x;
    else{
        uset[x] = y;
        if(rank[x] == rank[y])
            rank[y]++;
    }
}

下面是按秩合并的并查集的完整代码，这里只包含了递归的 find 操作。

const int MAXSIZE = 500;
int uset[MAXSIZE];
int rank[MAXSIZE];

void makeSet(int size){
    for(int i = 0; i < size; i++)
        uset[i] = i;
}

int find(int x){
    if(x != uset[x])
        uset[x] = find(uset[x]);
    return uset[x];
}

void unionSet(int x, int y){
    if((x = find(x)) == (y = find(y)))
        return;
    if(rank[x] > rank[y])
        uset[y] = x;
    else{
        uset[x] = y;
        if(rank[x] == rank[y])
            rank[y]++;
    }
}

除了按秩合并，并查集还有一种常见的策略，就是按集合中包含的元素个数（或者说树中的节点树）合并，将包含节点较少的树根，指向包含节点较多的树根。这个策略与按秩合并的策略相似，同样可以提升并查集的运行速度，而且省去了额外的 rank 数组。

这样的并查集具有一个略微不同的定义，即若 uset 的值是正数，则表示该元素的父节点（的索引）；若是负数，则表示该元素是所在集合的代表（即树根），而且值的相反数即为集合中的元素个数。相应的代码如下所示，同样包含递归和非递归的 find 操作：

const int MAXSIZE = 500;
int uset[MAXSIZE];

void makeSet(int size) {
    for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = -1;
}
int find(int x) {
    if (uset[x] < 0) return x;
    uset[x] = find(uset[x]);
    return uset[x];
}
int find(int x) {
    int p = x, t;
    while (uset[p] >= 0) p = uset[p];
    while (x != p) {
        t = uset[x];
        uset[x] = p;
        x = t;
    }
    return x;
}
void unionSet(int x, int y) {
    if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;
    if (uset[x] < uset[y]) {
        uset[x] += uset[y];
        uset[y] = x;
    } else {
        uset[y] += uset[x];
        uset[x] = y;
    }
}

如果要获取某个元素 x 所在集合包含的元素个数，可以使用 -uset[find(x)] 得到。

并查集的空间复杂度是 O(n) 的，这个很显然，如果是按秩合并的，占的空间要多一些。find 和 unionSet 操作都可以看成是常数级的，或者准确来说，在一个包含 n 个元素的并查集中，进行 m 次查找或合并操作，最坏情况下所需的时间为 O(mα(n))，这里的 α 是 Ackerman 函数的某个反函数，在极大的范围内（比可观察到的宇宙中估计的原子数量 1080 还大很多）都可以认为是不大于 4 的。具体的时间复杂度分析，请参见《算法导论》的 21.4 节 带路径压缩的按秩合并的分析。

作者：CYJB
出处：http://www.cnblogs.com/cyjb/
GitHub：https://github.com/CYJB/
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