剑指 Offer 53 - II. 0～n-1中缺失的数字 - leetcode 剑指offer系列

题目难度: 简单

原题链接

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题目描述

一个长度为 n-1 的递增排序数组中的所有数字都是唯一的，并且每个数字都在范围 0 ～ n-1 之内。在范围 0 ～ n-1 内的 n 个数字中有且只有一个数字不在该数组中，请找出这个数字。

1 <= 数组长度 <= 10000

• 注意: 原题描述变量使用混乱, 不好理解, 这里我们稍作替换, 将题目中的 n-1 替换为 n, 自然 n 就替换为了 n+1, 替换后的描述如下, 之后的分析都基于下面的描述
• 一个长度为 n 的递增排序数组中的所有数字都是唯一的，并且每个数字都在范围 0 ～ n 之内。在范围 0 ～ n 内的 n+1 个数字中有且只有一个数字不在该数组中，请找出这个数字。

题目样例

示例

• 输入: [0,1,3]

• 输出: 2

• 输入: [0,1,2,3,4,5,6,7,9]

• 输出: 8

题目思考

1. 可以用小于 O(N)的时间复杂度得出结果吗?
2. 可以做到 O(1) 空间复杂度吗?

解决方案

方案 1

思路

• 根据题目描述, 在范围 0 ～ n 内的 n + 1 个数字中有且只有一个数字不在该数组中
• 所以一个比较容易想到的思路是求 1~n 的和, 然后减去数组本身所有数字的和, 这样得到的数字就是缺失的
• 不过这种方案的时间复杂度达到了 O(N), 没有用到排序这一条件, 并不是最优解
• 但如果去掉排序这一前提, 这种方案就没毛病了, 所以还是值得写下来供大家参考的

复杂度

• 时间复杂度 O(N): 求和的时间消耗
• 空间复杂度 O(1): 只定义了几个变量

代码

class Solution:
    def missingNumber(self, nums: List[int]) -> int:
        # 方法1: 利用前n项和求和公式
        n = len(nums)
        return n * (n + 1) // 2 - sum(nums)

方案 2

思路

• 那如何利用排序这一条件呢? 首先想到的还是二分查找, 但这里需要进行一些改变
• 仍然分析三种情况:
  • nums[m] < m?: nums[m]不可能小于 m, 否则的话前面部分必然会有重复的元素, 这样才能到下标 m 时对应的值小于 m, 排除这种情况
  • nums[m] == m: 此时显然缺失数字在右侧, 左侧都是下标和值一一对应的; 而且缺失数字绝不可能是 m, 所以找右半部分, 且要排除 m, 即 s = m + 1
  • nums[m] > m: 此时缺失数字必然在左侧, 因为只有一个缺失数字, 且当前值已经大于下标了, 所以一定是左侧有个值没有, 才导致下标小于值; 而且缺失数字有可能就是 m, 所以找左半部分, 且不能排除 m, 即 e = m
• 与上面分析配套的循环条件是 s < e, 这样就保证了 m 必不等于 e (因为 e 至少为 s+1, 此时 m 是 s, 不等于 e, 更不用说更大的 e 了), 所以e = m不会陷入死循环, 最终一定收敛到 s==e 的情况, 且根据上述分析, 该值一定即为缺失的数字 (因为一直是排除不可能的情况向中间靠拢)
• 另外注意, 有可能缺失值就是长度 n 本身, 所以初始化的右边界应该为 n, 而不是通常二分查找的 n-1. 但这样也不会导致数组越界, 因为中位数 m 永远不可能等于 n (根据循环条件是s < e的分析, m 必不等于 e)

复杂度

• 时间复杂度 O(logN): 二分查找
• 空间复杂度 O(1): 只定义了几个变量

代码

class Solution:
    def missingNumber(self, nums: List[int]) -> int:
        # 方法2: 二分查找变种
        # 注意初始化的终点需要为数字长度n, 因为最终缺失数字可能是n, 不能排除这一情况
        s, e = 0, len(nums)
        while s < e:
            m = (s + e) >> 1
            # 注意nums[m]不可能小于m, 否则的话前面部分必然会有重复的元素
            if nums[m] == m:
                # 缺失数字在右侧, 且绝不可能是m, 所以找右半部分, 且要排除m
                s = m + 1
            elif nums[m] > m:
                # 缺失数字在左侧, 且有可能是m, 所以找左半部分, 但要保留m
                e = m
        # 最终收敛到的数字即为缺失的
        return s

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