快速求质数办法

2010-08-22 01:28 410人阅读 评论(1) 收藏 举报

TAG 素数  数论

 

素数总是一个比较常涉及到的内容，掌握求素数的方法是一项基本功。

基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数，直接枚举因子2 。。N^(0.5) ，看看能否整除N。

如果需要判断的次数较多，则先用下面介绍的办法预处理。

 

首先先介绍一般的线性筛法求素数

void make_prime()
{
    memset(prime, 1, sizeof(prime));
    prime[0]=false;
    prime[1]=false;
    int N=31700;
    for (int i=2;  i
        if (prime[i]) {
            primes[++cnt ]=i;
            for (int k=i*i; k
                 prime[k]=false;
        }
    return;
}

void make_prime() { memset(prime, 1, sizeof(prime)); prime[0]=false; prime[1]=false; int N=31700; for (int i=2; i

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数，把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。

但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

 

快速线性筛法没有冗余，不会重复筛除一个数，所以“几乎”是线性的，虽然从代码上分析，时间复杂度并不是O(n)。先上代码

#include
using namespace std;
const long N = 200000;
long prime[N] = {0},num_prime = 0;
int isNotPrime[N] = {1, 1};
int main()
{
    for(long i = 2 ; i < N ; i ++)
    {
        if(! isNotPrime[i])
            prime[num_prime ++]=i;
//关键处1
        for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++)
        {
            isNotPrime[i * prime[j]] = 1;
            if( !(i % prime[j]))  //关键处2
                break;
        }
    }
    return 0;
}

#include using namespace std; const long N = 200000; long prime[N] = {0},num_prime = 0; int isNotPrime[N] = {1, 1}; int main() { for(long i = 2 ; i < N ; i ++) { if(! isNotPrime[i]) prime[num_prime ++]=i; //关键处1 for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] < N ; j ++) { isNotPrime[i * prime[j]] = 1; if( !(i % prime[j])) //关键处2 break; } } return 0; }

首先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。

 

不管 i 是否是素数，都会执行到“关键处1”，

 

如果 i 都是是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。不过筛出的数各个素数系数的幂都是1. N=p1*p2*p3...的形式 pi之间不相等

 

如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数（1<=i<=n)  pi<=pj ( i<=j )

p1是最小的系数。

根据“关键处2”的定义，当p1==prime[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于p1的质数 *i 。

 

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5

此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i

如果能筛除3*i 的话，当 i' 等于 i'=3*3*5 时，筛除2*i' 就和前面重复了。

 

根据上面红字的条件，现在分析一个数会不会被重复筛除。

设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数（1<=i<=n)  ,  pi<=pj ( i<=j )

对于 i ，第一个能满足筛除 x 的数 i 必然为 i=p2*p3...*pn（p2可以与p1相等或不等），而且满足条件的 i 也只有一个。所以不会重复删除。

 

我还是希望用通俗的话来解释，所以上面并没有用严格的数学方式来证明。

 

再类比一个模型，比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ，1<=i<=n, 1<=j<=n,

我们会这么写

for (i=1; i

  for (j=i+1; j<=n; ++j)

   {

    /////

   }

我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理。

 

1楼提供的方法，我整理下

//偶数显然不行，所以先去掉偶数。可以看作上面第一种的优化吧。

我推荐这个算法！ 易于理解。 只算奇数部分，时空效率都还不错！
half=SIZE/2;
int sn = (int) sqrt(SIZE);
for (i = 0; i < half; i++) p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3，即p[i]对应2*i+3
for (i = 0; i < sn; i++)
{
    if(p[i])//如果 i+i+3 是素数
    {
     for(k=i+i+3,j=k*i+k+i;j// 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2
                                        // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i
                                        //    下标 i         k*i+k+i
                                        //对应数值 k=i+i+3   k^2
          p[j]=false;
    }
}
//素数都存放在 p 数组中，p[i]=true代表 i+i+2 是素数。
//举例，3是素数，按3*3,3*5,3*7...的次序筛选，因为只保存奇数，所以不用删3*4，3*6....