leetcode_72.编辑距离

给定两个单词 word1 和 word2，计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例 1:

输入: word1 = “horse”, word2 = “ros”
输出: 3
解释:
horse -> rorse (将 ‘h’ 替换为 ‘r’)
rorse -> rose (删除 ‘r’)
rose -> ros (删除 ‘e’)

示例 2:

输入: word1 = “intention”, word2 = “execution”
输出: 5
解释:
intention -> inention (删除 ‘t’)
inention -> enention (将 ‘i’ 替换为 ‘e’)
enention -> exention (将 ‘n’ 替换为 ‘x’)
exention -> exection (将 ‘n’ 替换为 ‘c’)
exection -> execution (插入 ‘u’)

解析：对于字符串的问题，大部分可以使用动态规划解决。
定义二维数组dp[i+1][j+1]，其中dp[i][j]代表对于word1的前i-1位与word2的前j-1位两个子字符串互相转换所需的操作数。则问题变为求dp[i][j]

第一行，是 word1 为空变成 word2 最少步数，就是插入操作
第一列，是 word2 为空，需要的最少步数，就是删除操作

如果word1[i]等于word2[j]，即对应两个字符相同，不需要进行操作，那么这两个子字符串的编辑距离取决于去除最后一个字符的子字符串的操作距离。
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]

如果两个字符不同，即需要进行对应操作。可能进行的操作共有三种
对于插入操作，dp[i][j]=dp[i][j-1]+1
对于替换操作，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
对于删除操作，dp[i][j]=dp[i-1][j]+1
这三种可能无法判别，因此选择三种操作结果最小的。

因此得到状态转移方程
当 word1[i] == word2[j]，dp[i][j] = dp[i-1][j-1]；
当 word1[i] != word2[j]，dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int n = word1.size(),m = word2.size();
        
        int dp[m+1][n+1];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        
        for(int i=1;i<=n;++i) dp[0][i] = i;
        for(int i=1;i<=m;++i) dp[i][0] = i;
        
        for(int i=1;i<=m;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                if(word1[j-1]==word2[i-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                else dp[i][j] = minthree(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1;
        return dp[m][n];
    }
    //辅助函数，求三个数中最小值
    int minthree(int a,int b,int c)
    {
        int m = (b>c)?c:b;
        return (a>m)?m:a;
    }
};