二分答案详解

题目背景

一年一度的“跳石头”比赛又要开始了!

题目描述

这项比赛将在一条笔直的河道中进行,河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间,有 N 块岩石(不含起点和终 点的岩石)。在比赛过程中,选手们将从起点出发,每一步跳向相邻的岩石,直至到达 终点。

为了提高比赛难度,组委会计划移走一些岩石,使得选手们在比赛过程中的最短跳 跃距离尽可能长。由于预算限制,组委会至多从起点和终点之间移走 M 块岩石(不能 移走起点和终点的岩石)。

输入输出格式

输入格式：

输入文件名为 stone.in。

输入文件第一行包含三个整数 L,N,M,分别表示起点到终点的距离,起点和终 点之间的岩石数,以及组委会至多移走的岩石数。

接下来 N 行,每行一个整数,第 i 行的整数 Di(0 < Di < L)表示第 i 块岩石与 起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出,且不会有两个岩石出现在同 一个位置。

输出格式：

输出文件名为 stone.out。 输出文件只包含一个整数,即最短跳跃距离的最大值。

输入输出样例

输入样例#1：

25 5 2 
2
11
14
17 
21

输出样例#1：

4

 

说明

输入输出样例 1 说明：将与起点距离为 2 和 14 的两个岩石移走后,最短的跳跃距离为 4(从与起点距离 17 的岩石跳到距离 21 的岩石,或者从距离 21 的岩石跳到终点)。

另：对于 20%的数据,0 ≤ M ≤ N ≤ 10。 对于50%的数据,0 ≤ M ≤ N ≤ 100。

对于 100%的数据,0 ≤ M ≤ N ≤ 50,000,1 ≤ L ≤ 1,000,000,000。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

下面以该题展开叙述：

观察此题，最短的最大，明显的二分。

思路：我们可以每次二分一个距离，然后检查该答案是否合法(若该答案是在至多移走m块石头后的路径中最小的，即合法，若移走的石头超过了m块，那么不合法)，若合法，那么就尝试更大的答案，因为我们是要求最短距离的最大嘛。若不合法，说明移走的石头过多，即我们的二分的距离太大(因为距离大，石头之间的距离才容易小于二分的距离，移走的也就多)，那就尝试更小的。

code：

#include
#include
using namespace std;

const int N = 50010;
int l, n, m, ans, dis[N];
bool check(int x) {
    int i, cur = 0, cnt = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        if (dis[i] - dis[cur] < x) cnt++;
        else cur = i;
    }
    if (cnt > m) return false;
    else return true;
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &l, &n ,&m);
    int i;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &dis[i]);
    int mid, left = 1, right = l;
    while (left <= right) {
        mid = (left+right)>>1;
        if (!check(mid)) right = mid-1; 
        else {
            ans = mid;
            left = mid+1;
        }
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

接下来解释一些细节：

首先明确，我们二分的最初区间是[最小的距离，最大的距离](本题中最小的距离就是1，最大当然就是整个区间长度)，且这个区间上的所有点都没查找过。

为什么right每次更新为mid-1，left每次更新为mid+1？

因为mid我们已经查找过了，因此更新区间时可以把它去掉，保证下次操作的区间上的所有点都没查找过。

left<=right？

可以这样想，如果是小于的话，那mid每次都会取它们之间的值，而不会取端点，可前面我们已经说过，区间上的所有点都没查找过，显然包括端点。若小于等于的话，当等于时，会查端点，可行。但前面小于的时候还有一种情况会查端点，即r-l == 1时，这时mid == l，虽然这样能查到端点，但后面无非会产生两个可能的区间[l,l-1] 和 [r,r]，第一个区间r小于l，意味着整个区间都查过了，而第二个则意味着还有r这一个元素没查过，可如果小于时，这时就会退出了，因此对于第二个区间的情况不适用。综上，应写小于等于。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

二分最好理解透彻，然后根据实际情况自己思考二分的边界，不要一味地套板子。

2018-7-31

最近有了些对于二分的新认识。

 int l = 0, r = 1e6;
 while (r-l > 1) {
        int mid = (l+r)>>1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }

理解：

为了避免一些麻烦，我们常常把二分区间选为左开有闭式，且保证答案位于当前区间内。例如我们的答案位于[1,10]区间，那么我们就要令l=0，r=10，然后开始二分。

那么r-l>1怎么理解呢？首先我们考虑r-l==1时，大概是(2,3]这样区间，这时我们没必要再去二分，因为我们处理的数组都是离散型的，即答案肯定为3，右边界。当r-l<1时显然对于离散型数组，这样的情况是不合法的，难道你见过(1,1.6]这样的数组区间？显然没有。

检查的时候若mid合法，则令r=mid，那么接下来我们要二分区间为(l,mid]，保证了正确答案位于该区间。当不合法时，令l=mid，接下来二分的区间变为了(mid,r]，同样也保证了答案的位于该区间。

另外二分要找准单调的量进行二分。