理解数据结构——图的DFS和BFS

理解数据结构——图的DFS和BFS

在图算法和搜索算法中,dfs和bfs是常见的两种遍历方式。且二者常常千变万化,出现于各类题型,如最短路径、树形dp中,那么我们该如何理解这两种算法思想呢。
1.DFS 深度优先搜索
顾名思义,即当我们对某个树or图进行搜索时,一条道走到黑,“不撞南墙不回头”。dfs总是沿着某个最深的方向来进行搜索,直到无路可走。
假设有下面这么一个树形结构(此处用树型结构,是为了初学者更好地理解这一过程。而且树也可看做一种特殊的有向无环图,应用到图中也是如此),
理解数据结构——图的DFS和BFS_第1张图片那么,运用dfs对进行搜索的顺序是什么样的呢:
ABECFGHD
很明显,即从每一 个顶点开始,访问其含有边的节点,直至没有通路;当没有通路后,便回溯到上一层顶点,继续访问没有访问过的节点。
请注意这个回溯,这是dfs中的一个关键。为了便于理解,先上相关代码:
首先先定义一个图,此处依旧是用大家(本蒟蒻)最喜闻乐见的邻接矩阵来表示图及其连通性:

const int MaxVnum=100;//顶点最大个数 
typedef char VexType;//顶点的数据类型 
typedef int EdgeType;//顶点的边权;若不带权值则用0和1表示其连通性 
typedef struct {
	VexType Vex[MaxVnum];//顶点信息 
	EdgeType Edge[MaxVnum][MaxVnum];//邻接矩阵 
	int vexnum,edgenum; //顶点数和边数 
}Gragh;

然后来看一下dfs的代码

void dfs(Gragh G,int v){//假设已经创建了一个图的邻接矩阵G ,v是开始访问的顶点 
	int w;//w是邻接点 
	cout<<G.vexnum[v]<<"\t";
	for(w=0;w<G.edgenum;w++){//遍历所有顶点
	     visist[v]=true;//访问过了标记为真 
	     if(G.Edge[v][w]&&!visist[w]) dfs(G,w);//邻接且未被访问过,则递归访问其邻接点
    }
} 

前面提到了回溯,注意一下visist[]这个数组,其作用正是用来记录是否访问过,并作为回溯的依据。即回溯之后,又从哪里继续开始
以上便是dfs的基本思路,接下来我们来bfs。
2.BFS 广度优先搜索
如果说dfs是走迷宫,一条道走到黑,那么BFS可以理解为:
你突然发现钱掉了,你该怎么找——肯定是从离自己目前最近的范围内开始寻找,之后慢慢扩大到自己所经过的地方啊!
这便是BFS的实现思路——从最近地方开始,范围慢慢扩大
我们仍然以之前的那棵树距离,那么我们的遍历是怎样的呢:
ABCDEFGH
即我们对于每一个顶点,总是先从它的邻接顶点开始访问,直至把其邻接点都访问了,再递归地访问邻接顶点的顶点。
相比起dfs的实现过程,bfs稍稍复杂了一点:需要借助一个数据结构——队列(Queue)来实现。
先来看代码,图的表示方法仍然沿用邻接矩阵
(此处用到了C++中的queue模板,C语言的话还需自己造轮子哈)

void bfs(Gragh G,int v){
	int u,v;
	queue<int>Q;
	cout<<G.vexnum[v]<<"\t";
	visist[v]=true;
	Q.push(v);//顶点v入队
	while(Q.empty()){//如果队列不空 
	u=Q.front();//队列的头元素出列赋给u
	Q.pop();//队列头元素出队
	for(w=0;w<G.edgenum;w++){
		if(G.Edge[u][w]&&!visist[w]){//u,w邻接且w未被访问过 
		cout<<G.Vex[w]<<"\t";
		visist[v]=true;
		Q.push(w);//领接点加入队列
		} 
	} 
	} 
}

现在通过代码,来解释一下队列的作用:用于保存当前被访问的顶点的邻节点,作为下一步访问的依据。同时,由于队列先进先出的特性,能够避免再次被访问。
以上便是bfs的基本思路和实现过程。
3.总结
dfs和bfs是图算法中两种基本的搜索方法,一个基于深度,一个基于广度。在实现的过程中,都需要考虑顶点之间的连通性,以及运用回溯的思想。当然,以上的代码只是为了便于理解,不可当作板子使用。因为前文也有所提及,dfs和bfs常常和其他的各种算法结合在一起出题,在实际问题中呈现形式多变。只有真正理解其算法思想,才能真正的运用。
算法的时间复杂度方面,基于邻接矩阵存储的图的dfs和bfs用的是暴力递归的思想,时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2);如果是基于邻接链表的存储结构的话,时间复杂度为 O ( n + e ) O(n+e) O(n+e)(e为边数)。
好了,说了那么多,数据结构还需多敲代码练练手,不是吗?
推荐习题(经典问题,各种变态题目的来源):
DFS:HDOJ 1241;
BFS:HDOJ 1372。
(第一篇关于数据结构的博客,感谢阅读 :)

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