理解数据结构——图的DFS和BFS

理解数据结构——图的DFS和BFS

在图算法和搜索算法中，dfs和bfs是常见的两种遍历方式。且二者常常千变万化，出现于各类题型，如最短路径、树形dp中，那么我们该如何理解这两种算法思想呢。
1.DFS 深度优先搜索
顾名思义，即当我们对某个树or图进行搜索时，一条道走到黑，“不撞南墙不回头”。dfs总是沿着某个最深的方向来进行搜索，直到无路可走。
假设有下面这么一个树形结构（此处用树型结构，是为了初学者更好地理解这一过程。而且树也可看做一种特殊的有向无环图，应用到图中也是如此），
那么，运用dfs对进行搜索的顺序是什么样的呢：
ABECFGHD
很明显，即从每一 个顶点开始，访问其含有边的节点，直至没有通路；当没有通路后，便回溯到上一层顶点，继续访问没有访问过的节点。
请注意这个回溯，这是dfs中的一个关键。为了便于理解，先上相关代码：
首先先定义一个图，此处依旧是用大家（本蒟蒻）最喜闻乐见的邻接矩阵来表示图及其连通性：

const int MaxVnum=100;//顶点最大个数 
typedef char VexType;//顶点的数据类型 
typedef int EdgeType;//顶点的边权；若不带权值则用0和1表示其连通性 
typedef struct {
	VexType Vex[MaxVnum];//顶点信息 
	EdgeType Edge[MaxVnum][MaxVnum];//邻接矩阵 
	int vexnum,edgenum; //顶点数和边数 
}Gragh;

然后来看一下dfs的代码

void dfs(Gragh G,int v){//假设已经创建了一个图的邻接矩阵G ，v是开始访问的顶点 
	int w;//w是邻接点 
	cout<<G.vexnum[v]<<"\t";
	for(w=0;w<G.edgenum;w++){//遍历所有顶点
	     visist[v]=true;//访问过了标记为真 
	     if(G.Edge[v][w]&&!visist[w]) dfs(G,w);//邻接且未被访问过，则递归访问其邻接点
    }
} 

前面提到了回溯，注意一下visist[]这个数组，其作用正是用来记录是否访问过，并作为回溯的依据。即回溯之后，又从哪里继续开始
以上便是dfs的基本思路，接下来我们来bfs。
2.BFS 广度优先搜索
如果说dfs是走迷宫，一条道走到黑，那么BFS可以理解为：
你突然发现钱掉了，你该怎么找——肯定是从离自己目前最近的范围内开始寻找，之后慢慢扩大到自己所经过的地方啊！
这便是BFS的实现思路——从最近地方开始，范围慢慢扩大
我们仍然以之前的那棵树距离，那么我们的遍历是怎样的呢：
ABCDEFGH
即我们对于每一个顶点，总是先从它的邻接顶点开始访问，直至把其邻接点都访问了，再递归地访问邻接顶点的顶点。
相比起dfs的实现过程，bfs稍稍复杂了一点：需要借助一个数据结构——队列（Queue）来实现。
先来看代码，图的表示方法仍然沿用邻接矩阵
（此处用到了C++中的queue模板，C语言的话还需自己造轮子哈）

void bfs(Gragh G,int v){
	int u,v;
	queue<int>Q;
	cout<<G.vexnum[v]<<"\t";
	visist[v]=true;
	Q.push(v);//顶点v入队
	while(Q.empty()){//如果队列不空 
	u=Q.front();//队列的头元素出列赋给u
	Q.pop();//队列头元素出队
	for(w=0;w<G.edgenum;w++){
		if(G.Edge[u][w]&&!visist[w]){//u，w邻接且w未被访问过 
		cout<<G.Vex[w]<<"\t";
		visist[v]=true;
		Q.push(w);//领接点加入队列
		} 
	} 
	} 
}

现在通过代码，来解释一下队列的作用：用于保存当前被访问的顶点的邻节点，作为下一步访问的依据。同时，由于队列先进先出的特性，能够避免再次被访问。
以上便是bfs的基本思路和实现过程。
3.总结
dfs和bfs是图算法中两种基本的搜索方法，一个基于深度，一个基于广度。在实现的过程中，都需要考虑顶点之间的连通性，以及运用回溯的思想。当然，以上的代码只是为了便于理解，不可当作板子使用。因为前文也有所提及，dfs和bfs常常和其他的各种算法结合在一起出题，在实际问题中呈现形式多变。只有真正理解其算法思想，才能真正的运用。
算法的时间复杂度方面，基于邻接矩阵存储的图的dfs和bfs用的是暴力递归的思想，时间复杂度为$O(n^2)$;如果是基于邻接链表的存储结构的话,时间复杂度为$O(n+e)$（e为边数）。
好了，说了那么多，数据结构还需多敲代码练练手，不是吗？
推荐习题（经典问题，各种变态题目的来源）：
DFS：HDOJ 1241；
BFS：HDOJ 1372。
（第一篇关于数据结构的博客，感谢阅读 ：）