图论-最短路径问题

最短路径问题

1 Floyed

穷举所有中间点k，如果i到j到距离大于i到k的距离 + k到j的距离，则刷新

if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])

   a[i][j] = a[i][k] + a[k][j];

#include 
using namespace std;

const int MAX = 99999999;
int n, m;
int a[1001][1001];

void floyd() {
	for(int k=1; k<=n; k++) { //必须k放外循环
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			for(int j=1; j<=n; j++) {
				if(a[i][j]>a[i][k]+a[k][j])
					a[i][j] = a[i][k] + a[k][j];
			}
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=1; j<=n; j++) {
			cout << i << " -> " << j << " : " << a[i][j]  << endl;
		}
		cout << endl;
	}
}

void read() {
	int x, y, w;
	cin >> n >> m;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=1; j<=n; j++) a[i][j] = MAX;
	for(int i=1; i<=n; i++) a[i][i] = 0;
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		cin >> x >> y >> w;
		a[x][y] = w;
	}
}

int main() {
	read();
	floyd();
	return 0;
}

2 Dijkstra

Dijkstra 单源最短路径（源点到其他点的最短距离）

数组 D[i]表示源点(s)到i的最短距离

有两个集合：

S(求出最短距离的点)、T（未求出最短距离的点）

S初始时为空

1> 初始化：(最短距离=直接距离)

D[1~n] = a[s][i];

（D[s] = 0）

2> j=1~n;找d[j]的最小值，如果不在S中，记下其下标K，把k加入S;

3>用k作为中间点刷新;做2> n-1次，把所有点加到S中

#include 
using namespace std;

const int MAX = 999999999;
int n, m, s;		   //s为源点 
int a[1001][1001];
int d[1001];           //顶点(起点)x到其他所有点的最短距离
bool InS[1001];        //标记点在不在S中

void read() {
	int x, y, w;
	cin >> n >> m >> s;
	for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) a[i][j] = MAX;
	for(int i=1; i<=n; i++) a[i][i] = 0;
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		cin >> x >> y >> w;
		a[x][y] = w;
	}
}

int Dijkstra(int x) {               //求x到其他点的最短距离
	int min, k;
	for(int i=1; i<=n; i++) d[i] = a[x][i];
	d[x] = 0;
	InS[x] = true;
	for(int i=1; i<=n-1; i++) {    //做n-1次 (D[x]已经 = 0) 
		min = MAX;
		for(int j=1; j<=n; j++) {
			if(min > d[j] && !InS[j]) {
				min = d[j];     //min
				k = j;		 //min的下标
			}
		}
		InS[k] = true;
		for(int j=1; j<=n; j++) {
			if(d[j] > d[k]+a[k][j]) {
				d[j] = d[k] + a[k][j];
			}
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) cout << d[i] << " "; 
}

int main() {
	read();
	Dijkstra(s);
	return 0;
}

3 SPFA(单源最短路径)

SPFA可以处理负权(不能处理负权的环)，利用队列实现

 

同Dijkstra，D[i]表示源点(s)到i的最短距离

 

初始化：

D[1~n] = MAX， D[s] = 0;

1> 把源点入队列，当队列不为空时，循环出队列

2> 顶点K出队列,通过K刷新最短距离

如果D[j]被刷新，判断j是否在队列中，不在则入队列

利用C++ STL解：

#include 
#include  
using namespace std;

const int MAX = 999999999; 

int n, m, s;
int a[1001][1001];
int d[1001];
bool inq[1001];         //判断在不在队列中

queue q;

void read() {
	int x, y, w;
	cin >> n >> m >> s;
	for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) a[i][j] = MAX;
	for(int i=1; i<=n; i++) a[i][i] = 0;
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		cin >> x >> y >> w;
		a[x][y] = w;
	}
}

void SPFA(int x) {                       //求x到其他点的最短距离 
	int k;
	for(int i=1; i<=n; i++) d[i] = MAX;
	d[x] = 0;
	q.push(x);                          
	inq[x] = true;                      
	while(!q.empty()) {
		k = q.front(); 
		q.pop();
		inq[k] = false;
		for(int j=1; j<=n; j++) {
			if(a[k][j] == MAX) continue;
			if(d[j] > d[k]+a[k][j]) {
				d[j] = d[k]+a[k][j];
				if(!inq[j]) {
					q.push(j);
					inq[j] = true;
				}
			}
		} 
	} 
	for(int i=1; i<=n; i++) cout << d[i] << " ";
} 

int main() { 
	read();
	SPFA(s);
	return 0;
}

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