bzoj1811mea(不等式)

Description

考虑一个非递减的整数序列 S1,....Sn+1(Si<=Si+1 1<=i<=n)。 序列M1...Mn是定义在序列S的基础上，关系式为 Mi=( Si + S(i+1) )/2, 1<=i<=n, 序列M叫做序列S的平均数序列。例如序列1,2,2,4的平均数序列为 1.5,2,3.注意到平均数序列中的元素可能为小数。但是本题的任务只是处理平均数序列都为整数的情况。 给出一个n个数字的非递减的整数序列M1,M2...Mn.请你计算出：序列S,S1...S(n+1)的平均序列是M1,...,Mn。 求满足以上条件的序列S的总个数。 任务： * 从标准输入文件中读入一个非递减的整数序列。 * 计算出平均序列是给出序列的整数序列的总个数。 * 把计算结果写到标准输出文件中。

Input

输入文件的第一行包含一个整数n(2<=n<=5 000 000).接下来的n行包含了这个给出的整数序列M1,..,Mn. 第i+1行包含一个整数Mi(1<=mi<=1000000000).对于本题,50%的测试数据中n<=1000,0<=Mi<=20000.

Output

输出文件仅一行，即所求答案。

Sample Input

3
2
5
9

Sample Output

4

HINT

本题一共存在4种序列， 他们的平均数序列都是2,3,9。这四种序列如下：
* 2,2,8,10
* 1,3,7,11
* 0,4,6,12
*-1,5,5,13

分析：

sequence序列： 
    令S序列的第一项为k，那么后面几项就可以写成关于k的多项式： 

S1=k 
S2=2*m1-k 
S3=2*m2-2*m1+k „„ 
然后根据S序列的非递减性质，有S1<=S2<=S3<=…. 

所以有 
    k<=2*m1-k 
    2*m1-k<=2*m2-2*m1+k     

„„ 
可以得到n个关于k的不等式，而且都是有规律的，可以在O(n)的时间内解出形如 a<=k<=b 的结果。 
由于k的值和S序列是一一对应的，所以k的取值的个数(b-a)就是满足要求的S序列的个数。

这个题解一开始看起来有点费劲，什么有规律的，我怎么没发现。

写前面的一些项，帮助发现规律吧。

S1+S2 = m1

S2 + S3 = m2

S3 + S4 = m3

s4 + s5 = m4

令S1 = k，则

S1 = k

S2 = 2*m1 - k;

S3 = 2*m2 - 2*m1 + k

S4 = 2*m3 - 2*m2 + 2*m1 - k

S5 = 2*m4 - 2*m3 + 2*m2 - 2*m1 + k

根据S1 <= S2 <= S3 <= S4 <= S5,则有

S1 <= S2           ---->       k < 2*m1 - k       ---->       k < m1

S2 <= S3           ---->       2*m1 - k < 2*m2 - 2*m1 + k       ---->     k > 2*m1 - m2

S3 <= S4           ---->       k < m3 - 2*m2 + 2*m1

S4 <= S5           ---->       k > 2*m3 - 2*m2 + 2*m1 - m4

可以发现<和>是交替的

那么就可以根据整理出的不等式，求出k的上下界。

#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5e6+5;
int b[N];
LL a[N];
int main()
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        LL ma = 1ll<<61, mi = -(1ll<<61);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &b[i]);
        a[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            a[i] = b[i] - a[i-1];   //a[1] = m1, a[2] = m2-m1, a[3] = m3-m2+m1, a[4] = m4-m3+m2-m1;
        for(int i = 0; i < n; i += 2)
        {
            LL k = a[i+1] - a[i];
            if(k < ma)      //用来求最小的上界
                ma = k;
        }
        for(int i = 1; i < n; i += 2)
        {
            LL k = a[i] - a[i+1];
            if(k > mi)      //用来求最大的下界
                mi = k;
        }
        if(ma >= mi)
            printf("%Illd\n", ma - mi +1);
        else
            puts("0");
    }
    return 0;
}