Manacher 马拉车

目录

一、解决问题

二、算法分析

1.暴力解法  O(n^3)

2. 从中心向外扩散 O(n^2)

3.Manacher O(n)

三、Manacher模板

---

一、解决问题

在时间复杂度和空间复杂度都是O(n)的情况下，求出一个字符串的最长回文串长度。

 

二、算法分析

1.暴力解法  O(n^3)

string s;   //子串 
string ss;  //辅助串 
maxlen=1;  //最大长度
for(int i=0; i

2. 从中心向外扩散 O(n^2)

 

find(string s, int low, int high) {
	while(low>=0 && high<=s.length()-1) {
		if(s[low] == s[high]) {
			if(high-low+1 > maxlen) {
				maxLen = high - low + 1;  //更新长度
				...  //截取回文字符串 
			}
			low--;
			high++; 
		}
		else break;
	}
} 
int main() {
	for(int i=0; i

3.Manacher O(n)

1. 由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，具体做法是：在字符串首尾，及各字符间各插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）
   
2. 定义一个辅助数组int p[]，其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径
       i）在S_new中，以S_new[i]为中心的最长回文子串长度为2P [i] - 1
       ii）由于在S_new中是在每个字符两侧都有新字符“#”，观察可知“#”的数量一定是比原字符多1的，即有P[i]个，因此真实的回文子串长度为P[i] - 1，最长回文子串长度为Math.max(P [ i ] ) - 1
   
3. 那么重点就在我们怎么才能求这个P 数组呢？
       首先：由于s是从前扫到后的,所以需要计算p[i]时一定已经计算好了p[1]..p[id]...p[i-1]
          假设现在扫描到了i 这个位置,现在需要计算p[i]
       然后：设置两个变量，mx 和 id 。
          mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是mx = id + p[id]。

         这时候就分了一下两种情况：
          A.   i 这个位置不在前面任何回文串中，即 i > mx，则初始化 p[i] = 1//本身是回文串，然后p[i] 再向左右延伸
             即

               

          B.   i 这个位置被前面以位置 id 为中心的回文串包含,即 mx > i
这样的话p[i]就不是从1开始
          P[i] 的值就有以下三种情况得出：

•    j的回文串有一部分在id之外，如下图
  

         上图中，黑线为 id 的回文，i 与 j 关于 id 对称，红线为 j 的回文。
         那么根据代码此时p[i] = mx - i，即紫线。那么p[i]还可以更大么？答案是不可能

          证明：假设右侧新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 d ，也就是说 id 的回文不仅仅是黑线，而是黑线 + 两条紫线，矛盾，所以假设不成立，故p[i] = mx - i，不可以再增加一分。

• j的回文串全部在id的内部，如下图

         根据代码，此时p[i] = p[j]，那么p[i]还可以更大么？答案亦是不可能！
         证明：假设右侧新增的红色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 b ，也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ，矛盾，所以假设不成立，故p[i] = p[j]，也不可以再增加一分。

        

• j的回文串左端刚好与id的回文串左端重合，如下图

       

        根据代码，此时p[i] = p[j]或p[i] = mx - i，并且p[i]还可以继续增加，所以需要：
        

 

综合以上所有情况：

三、Manacher模板

#include  
#include
#include  
using namespace std;
char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];
int Init() {
    int len = strlen(s);
    s_new[0] = '$';
    s_new[1] = '#';
    int j = 2;
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        s_new[j++] = s[i];
        s_new[j++] = '#';
    }
    s_new[j] = '\0'; 
    return j;  //返回s_new的长度  
}
int Manacher() {
    int len = Init();  //取得新字符串长度并完成向s_new的转换  
    int maxLen = -1;   //最长回文长度  
    int id;
    int mx = 0;
    for (int i = 1; i < len; i++) {
        if (i < mx)
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);
        else
            p[i] = 1;
        while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  //不需边界判断，因为左有'$',右有'\0'  
            p[i]++;

        //我们每走一步i，都要和mx比较，我们希望mx尽可能的远，这样才能更有机会执行if (i < mx)这句代码，从而提高效率 
        if (mx < i + p[i]) {
            id = i;
            mx = i + p[i];
        }
        maxLen = max(maxLen, p[i] - 1);
    }
    return maxLen;
}

int main() {
    while (printf("请输入字符串：\n")) {
        scanf("%s", s);
        printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
    }
    return 0;
}