算法题 - 求一个正数的开方根 - Python

求一个正数的开方根

问题描述：

给定一个正数 a，求这个数的开方根，要求保留精度小数点后6位。

问题分析：

这个题目是今天火山小视频第一个面试题，其实之前就遇到过，LeetCode：69. Sqrt(x)和这个不同的是，要求是保留小数点后六位，但是无外乎还是使用二分法或者牛顿迭代法来做。这次特定介绍一种前几天看到的一个方法，梯度下降法（在朋友的博客上看到的，但是他没有详细的整理和给出可运行的代码：链接）。那么现在先介绍一下牛顿迭代法，然后是梯度下降法，最后是二分法。

（1）方法一：牛顿迭代法（最常用的方法）：

把问题转换成，求解函数$f(x)=x^2-a=0$的一个根。现在看看牛顿迭代公式，不用详细介绍了，很简单：
其中：$f^{\prime }(x)=2x$

（图片来自百度百科）

# @Time   :2019/02/12
# @Author :LiuYinxing
# Python3
# 牛顿迭代法


class Solution:
    def __init__(self, th=1e-4):
        self.th = th  # 设置阈值threshold  th=1e-4

    def sqrt(self, a):
        if a <= 0:  # 非正数均返回 0 ，不做进一步细分了哈
            return 0

        x = 1.0  # 设一个初始值（初始化如果为负值，找到的是负根）
        while abs(x*x-a) >= self.th:  # 判断是否收敛
            x = (x + a / x) / 2  # (x*x - a)/(2x)
        return x


if __name__ == '__main__':
    solu = Solution()
    print(solu.sqrt(0.09))

（2）梯度下降法：
令$x=\sqrt{a}$，那么问题转换一下，$f(x)=x^2-a$，即求$f(x)=0$ 的一个解。现在问题是，如何把这个问题转换成梯度下降问题，一般的认识是梯度下降法是求解极值问题，我们把这个问题转换成极值问题即可，不难看出，$f(x)=x^2-a$ 是函数$F(x)=\frac{1}{3}{x}^3-ax$ 对$x$求导的导函数。

现在对函数$F(x)=\frac{1}{3}{x}^3-ax$ 进行梯度下降求极值，求得的那个解，很显然就是$f(x)=x^2-a=0$的一个根了。

Python3实现：

# @Time   :2019/02/12
# @Author :LiuYinxing
# Python3
# 梯度下降法


class Solution:
    def __init__(self, lr=0.01, th=1e-4):
        self.lr = lr  # 设置学习率 lr=0.01
        self.th = th  # 设置阈值threshold  th=1e-4

    def sqrt(self, a):
        if a <= 0:  # 非正数均返回 0 ，不做进一步细分了哈
            return 0

        x = 5  # 设一个初始值
        F_cur = x * x * x / 3 - a * x  # 计算初始函数值
        error = 1
        while abs(error) >= self.th:  # 判断是否收敛
            x -= self.lr * (x * x - a)  # 迭代求x，其实相当于更新梯度
            error = F_cur - (x * x * x / 3 - a * x)
            F_cur = x * x * x / 3 - a * x
        return x


if __name__ == '__main__':
    solu = Solution(lr=0.01)
    print(solu.sqrt(88))

上面代码存在什么样的问题：

问题1：很显然它有两个根，求出的是不是正数？

答：函数$F(x)=\frac{1}{3}{x}^3-ax$ 如何画出它的坐标图，那么它一定是一个先递增–>递减–>递增的图像，很显然就一个极小值点（还一个极大值点）。所以理论上只要初始化 $x$ 的值 在 $(-\sqrt{a},+\infty ]$ 范围内，就可以迭代到极小值点。（感觉是这样哈，看下图辅助理解）

问题2：尝试了一下，因为要求三次方，所以 $a$ 比较大的情况下，就要考虑调整参数了，而且是求解要消耗一定时间。

（3）方法三：二分法（简单有效哈）

# @Time   :2019/02/12
# @Author :LiuYinxing
# Python3  二分法


class Solution:
    def sqrt(self, x, th):

        if x <= 0:return 0  # 非正数均返回 0 ，不做进一步细分了哈

        if x >= 1:  # 初始化要分两个区间进行，[0, 1], [1, 正无穷]
            low, high = 1, x
        else:
            low, high = x, 1

        while high - low > th:
            mid = (low + high) / 2
            mid2 = mid ** 2
            if mid2 == x:
                return mid
            elif mid2 < x:
                low = mid + th
            elif mid2 > x:
                high = mid - th
        return high


if __name__ == '__main__':
    solu = Solution()
    print(solu.sqrt(0.09, th=1e-6))

声明： 总结学习，有问题或不当之处，可以批评指正哦，谢谢。