关于（求和符号∑）不可不知的事情

文章向导

从单重求和谈起（定义与基本性质）
多重求和（二重情况）
求和的实际应用（等比级数）

引言：
　　求和符号经常活跃于数学或工程实际问题中，特别是处于多重求和情况时，连用的求和符号存在运算的优先顺序，有时我们可以直接互换不同求和符号之间的位置，而有时不同的位置则代表不同的求和意义。因此，关于求和符号∑的问题还是很有必要进行一番细致的讨论。

一、从单重求和谈起
　　我们通过一个稍微简单的例子来回顾下求和符号的使用（如下所示）。$$\sum _{i=1}^{10}g\left(k,l\right)h\left(i,j\right)=g\left(k,l\right)\sum _{i=1}^{10}h\left(i,j\right)$$
　　求和符号展开的关键在于替换所有的计数下标，本例中$g\left(k,l\right)$与计数下标i无关，故可直接提取到求和符号外。最终结果如下所示：$$g\left(k,l\right)\left(h\left(\text{1,}j\right)+h\left(\text{2,}j\right)+\cdot \cdot \cdot +h\left(\text{10,}j\right)\right)$$

二、多重求和（二重情况）
　　当出现两个及以上的求和符号时，它们之间必然存在着某种运算的优先顺序。为便于理解和阅读，我们也可以适当对其添加括号来明确这种运算顺序。比如下面这样：$$\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^{4}f\left(i,j\right)=\sum _{i=1}^3\left(\sum _{j=1}^{4}f\left(i,j\right)\right)=\sum _{i=1}^3\left(f\left(i,1\right)+f\left(i,2\right)+f\left(i,3\right)+f\left(i,4\right)\right)$$
　　实际上，由于计数下标i和j的范围不同，上述双重求和表达式中的两个求和符号的顺序可以互换，即可以写成下面这种形式：$$\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^{4}f\left(i,j\right)=\sum _{j=1}^4\sum _{i=1}^{3}f\left(i,j\right)$$
　　既然存在可以直接互换的情况，那么也必然存在求和符号顺序不可直接互换的情况，比如下面这个例子，如果强行直接互换两者，那么其表达式的意义也就发生了变化。
　　
$原式：{\sum }_{i=1}^4{\sum }_{j=1}^{i}f\left(i,j\right)$　　(2-1)

$错误的表达式：{\sum }_{j=1}^i{\sum }_{i=1}^{4}f\left(i,j\right)$　(2-2)

$意义已变：{\sum }_{j=1}^4{\sum }_{i=1}^{j}f\left(i,j\right)$　(2-3)
　　首先分析下式（2-1），由于j的范围取决于i，因此我们不能直接互换两个求和符号的顺序。如果强行互换得到式(2-2)，将得到一个错误的表达式，其错误之处在于${\sum }_{j=1}^i$已经使用了计数下标i，所以内层求和符号不能再使用i作为计数下标。
　　那么，如（2-3）这样机械式的互换是否又是可行的呢？答案是否定的，虽然如此互换后得到的式子是正确的，但含义却已改变（与原式对比很容易观察到）。
　　
　　正确的替换方式如下所示，到此的读者可以用心感悟下它与前面几种做法的区别：$$\sum _{i=1}^4\sum _{j=1}^{i}f\left(i,j\right)=\sum _{j=1}^4\sum _{i=j}^{4}f\left(i,j\right)$$
　　等式两边可以按照穷举法的思路来进行理解，为便于说明笔者将给出一份表格来辅助解释。（等式左右两边都表示表格中所有项相加之和）
　　
　　左边：穷举i的取值，内层元素求和，在表格中体现为依次横排相加。
　　右边：穷举j的取值，内层元素求和，在表格中体现为竖排相加。
　　
　　最后，谈一个小技巧（也是容易出错的地方）。比如下面这个式子，简单理解来看，似乎可以直接将平方展开。但正如前面所说，由于外层求和使用了计数下标i，故内层必须使用其他字母来作为计数下标。
$${\left(\sum _{i=1}^{5}f\left(i\right)\right)}^2=\left(\sum _{i=1}^{5}f\left(i\right)\right)\ast \left(\sum _{i=1}^{5}f\left(i\right)\right)\ne \sum _{i=1}^5\sum _{i=1}^{5}f\left(i\right)f\left(i\right)$$

故正确的表达形式应该改为如下所示（内层计数下标为j）
$${\left(\sum _{i=1}^{5}f\left(i\right)\right)}^2=\left(\sum _{i=1}^{5}f\left(i\right)\right)\ast \left(\sum _{i=1}^{5}f\left(i\right)\right)=\sum _{i=1}^5\sum _{j=1}^{5}f\left(i\right)f\left(j\right)$$
三、求和的实际应用（等比级数）
　　等比数列{$a_i$}其求和公式可以描述为如下的形式（设$m⩽n$，其中r为公比，通项公式为$a_i=r^i$）：
$$\sum _{i=m}^n{r}^i=\frac{r^m-r^{n+1}}{1-r}=\frac{a_1-a_n\bullet r}{1-r}\left(r\ne 1\right)$$
　　当$n\to \infty$时，上述就成为了等比级数，此时等式转换为：
$$\sum _{i=1}^{\infty }{r}^i=\frac{r}{1-r}\left(|r|<1\right)（3-1）$$
　　当$|r|⩾1$时，上述的求和表达式不收敛。
　　借助式（3-1）与微分的特性，我们还能导出另一条有用的结论。先对（3-1）式关于r进行微分，然后两边乘以r可得到如下等式：
$$（先微分）\sum _{i=1}^{\infty }i{r}^{i-1}=\frac{1}{{\left(1-r\right)}^2}$$
$$（两边同乘以r）\sum _{i=1}^{\infty }i{r}^i=\frac{r}{{\left(1-r\right)}^2}\left(|r|<1\right)（3-2）$$
　　最后得到的（3-2）式也是经常会用到的结论，希望读者能掌握这种推导演算思路。

参阅资料
程序员的数学（概率统计）
高等数学（同济6版）
普林斯顿微积分读本