高斯消元 矩阵求秩

以 杭电zhu and 772002 为例，看高斯消元如何使用

矩阵的秩等于矩阵线性无关的列的数量，自由度 = 矩阵列数 - 矩阵的秩。摘自贴吧。

线性代数，忘了。好像是通过行变换，得到一个上三角矩阵，求出某一变元的解，然后回迭求解。

下面是个例子：

#define _CRT_SECURE_ON_WARNINGS  
#include   
#include   
#include   
using namespace std;
#define MOD 1000000007  
const int maxn = 2017; //素数最大不超过2000  
typedef int Matrix[maxn][maxn];
int Rank(Matrix A, int m, int n) { //增广矩阵A，m行数（方程式个数），n列数。均从0开始
	int i = 0, j = 0, k, r, u;
	while (i < m && j < n) { //显然j和列有关
		r = i; //选主行  
		for (k = i; k < m; ++k) {
			if (A[k][j]) {
				r = k;
				break;
			}
		}
		if (A[r][j]) {
			if (r != i)
				for (k = 0; k <= n; ++k)
					swap(A[r][k], A[i][k]); //行交换，将第i行换为A[i][j]不为0
			for (u = i + 1; u < m; ++u) //将第j列第i行一下的值全变为0。当然想改变A[u][j]，u这一行都要做相同的改变（即全异或A[i][k])
				if (A[u][j])
					for (k = i; k <= n; ++k)
						A[u][k] ^= A[i][k]; //若不是异或，普通的矩阵改为减除
			++i; //移动主行
		}
		++j;//移动列
	}
	return i;//直接返回秩了，没有回带求解
}
Matrix A;
bool vis[maxn];
int prime[304]; //存素数  
int getPrime(int n) { //O(n)线性素数筛  
	memset(vis, 1, sizeof vis);
	int cnt = 0; //从0开始存，若换用注释中的，则从1开始存  
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		if (vis[i]) {
			prime[cnt++] = i;//p[++cnt] = i;  
		}
		for (int j = 0; j < cnt && (i * prime[j] <= n); ++j) { //j = 1; j <= cnt   
			vis[i * prime[j]] = 0;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
	return cnt; //返回2：n中素数的个数  
}
long long pow_mod(int n) {
	long long b = 2, res = 1;
	while (n) {
		if (n & 1) res = (res * b) % MOD;
		b = (b * b) % MOD;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int m = getPrime(2000); //303  
	int T, kase = 0;
	cin >> T;
	while (T--) {
		int n, maxp = 0; //maxp 存最大素数的下标  
		long long x;
		cin >> n;
		memset(A, 0, sizeof A); //每一列表示一个数的的质因子分解
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			cin >> x;
			for (int j = 0; j < m; ++j)
				while (x % prime[j] == 0) {
					maxp = max(maxp, j);
					x /= prime[j];
					A[j][i] ^= 1; //第i个元素是否含有奇数个质因子prime[j]  
				}
		} //求出增广矩阵  
		int r = Rank(A, maxp + 1, n); //求秩  
		long long ans = pow_mod(n - r); //自由度 = 矩阵列数 - 矩阵的秩  
		ans = (ans - 1 + MOD) % MOD; //去掉全不选的一种情况  
		cout << "Case #" << ++kase << ":" << endl << ans << endl;
	}
	return 0;
}

POJ1830 套高斯消元的板子，加了一个判断无果的判定，会计算机实现高斯消元后，问题的关键就在于写出方程组，为何要求自由元。

#define _CRT_SECURE_ON_WARNINGS
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define MOD 1000000007
const int maxn = 50;
typedef int Matrix[maxn][maxn];
int Rank(Matrix A, int m, int n) {
	int i = 0, j = 0, k, r, u;
	while (i < m && j < n) { //第n列为矩阵右边的值
		r = i; //选主行
		for (k = i; k < m; ++k) {
			if (A[k][j]) { //向下选，定主行
				r = k;
				break;
			}
		}
		if (A[r][j]) {
			if (r != i)//主行上移，i行才是真正的主子
				for (k = 0; k <= n; ++k)
					swap(A[r][k], A[i][k]);
			for (u = i + 1; u < m; ++u)
				if (A[u][j])
					for (k = i; k <= n; ++k)
						A[u][k] ^= A[i][k];
			++i;
		}
		++j;
	}
	for (int k = i; k < m; ++k)
		if (A[k][n] != 0) return -1;//左为0，等号右不为0
	return i;
}
Matrix A;
long long pow_mod(int n) {
	long long b = 2, res = 1;
	while (n) {
		if (n & 1) res = (res * b) % MOD;
		b = (b * b) % MOD;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int T, kase = 0;
	cin >> T;
	while (T--) {
		int n;
		cin >> n;
		memset(A, 0, sizeof A);
		for (int i = 0; i < n; ++i)
			cin >> A[i][n];
		int tmp;
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			cin >> tmp;
			A[i][n] ^= tmp;
			A[i][i] = 1;
		}
		int i, j;
		while (cin >> i >> j) {
			if (i == 0 && j == 0) break;
			A[j - 1][i - 1] = 1; //第i个开关影响第j个
		}
		int r = Rank(A, n, n); //求秩
		if (r == -1) {
			puts("Oh,it's impossible~!!");
			continue;
		}
		long long ans = pow_mod(n - r); //自由度 = 矩阵列数 - 矩阵的秩
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}