数位DP总结

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数位dp总结 之 从入门到模板

对模板的理解:

/*
    以题目“不要62”为例,其中输入区间右端点为 210。
    那么处理该端点时,百位可取 0、1、2。
    称取值方式以系列形式呈现,以下将取值可能分为 3 个系列,
    其中系列 1、2 我称之为普通系列,系列 3 我称之为受限系列。
    系列 1:百位为 0 时,十位可取 0-9,个位可取 0-9。
    系列 2:百位为 1 时,十位可取 0-9,个位可取 0-9。
    系列 3:百位为 2 时,十位仅可取 0、1。十位为 0 时,个位可取 0-9;十位为 1 时,个位仅可取 0。

    可以理解两条注意点:
    1. 系列 1 和系列 2 的满足条件的个数是一样的,加入系列 1 中满足条件要求的个数为 80 个,系列 2 中也应该为 80 个;
    2. 系列 3 会有取值受限,取值限制由后文中的 limit 进行约束。

    pos     :  当前处理位上的数,比如十位中的 1
    pre     :  上一层的位上的数,比如百位中的 1
    sta     :  描述在每一位下,累加记忆的分类存储

    limit   :  用以判断取值是否受限,也就是当前处理的位能否随便取值。
*/

typedef long long LL;

// 记忆某一系列满足条件的个数,该系列是其中值不受限的普通系列。
int dp[pos][sta];

//储存每一位的最高位
int a[pos];

LL dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit)
{
    // 已搜索至尽头,返回 1 使计数器 + 1,前提是上一层已经将不满足条件的情况剔除。
    if(pos == -1)
        return 1;

    // dp 记忆某一系列满足条件的个数,
    // 如果系列 1 搜索过后得到其中满足条件要求的个数为 80 个。
    // 那么系列 2 中满足条件要求的个数应该也为 80 个,在此处直接返回即可,无需再进行搜索。
    if(!limit && dp[pos][sta] != -1)
        return dp[pos][sta];

    // 此处根据 limit 进行判断当前取值是否受限。
    // 如果 limit 为 true,说明取值受限。
    int up = limit ? a[pos] : 9;

    LL ans = 0;

    // 遍历每一个可取的值
    for(int i=0;i<=up;i++)
    {
        // 此处根据题目要求将不满足题目条件的情况剔除
        if(i==4) continue;
        if(i==2&&pre==6) continue;

        /*
            pos-1               :表示开始处理下一位
            i                   :表示以下一位的角度来看,当前位为前一位
            i==6                :表示当前位取值到 6 时,要改变 dp 记忆的位置
            limit&&i==a[pos]    :表示根据当前位取到的数值来确定下一位是否受限
        */
        ans += dfs(pos-1,i,i==6,limit&&i==a[pos]);
    }

    // 如果当前处理的系列不是受限系列,而是如同系列 1、2 的普通系列,可记忆下来当前满足条件的个数
    if(!limit)
        dp[pos][sta] = ans;

    return ans;
}

LL solve(LL x)
{
    int pos=0;
    // a[0]=0 a[1]=1 a[2]=2
    while(x)
    {
        a[pos++]=x%10;
        x/=10;
    }
    // 当前相当于 dfs(2,-1,0,true)
    // 表示当前处理位是百位,由于百位取值为 2、1、0,所以是受限的
    return dfs(pos-1,-1,0,true);
}

int main()
{
    memset(dp,-1,sizeof(dp));

    LL a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<solve(b)-solve(a-1)<<endl;

    return 0;
}

ps:待补充

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