浅析曼德勃罗集及C++实现图形绘制

       在算法大作业中，认识到了曼德勃罗集（Mandelbrot Set）这一名词，经过网上资料的查阅，才对其思想和独特魅力略知皮毛。由于该集合的定义与分形有关，需要先介绍一下分形的概念。

 

什么是分形（Fractal）？

 

      1967年，美国数学家Mandelbrot曾提出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？最终，Mandelbrot在1957年提出了“分形”一词。

 

分形（英语：Fractal），又称碎形、残形，通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。——维基百科（wikipedia）

 

分形一般具有以下特点：

1.      具有无限精细结构；

2.      比例自相似性；

3.      一般它的分子维数大于它的拓扑维数；（不懂）

4.      可以由非常简单的方法定义，并由递归迭代产生。

 

                                                                     科赫雪花   

                  

                                                                        谢尔宾斯基三角形

 

什么是Mandelbrot集合？

Mandelbrot集合是在复平面上组合分形的点的集合，正是以数学家Mandelbrot的名字命名。

 

Mandelbrot集合可以由复二次多项式

来定义。其中是一个复参数，对于每一个，从开始对进行迭代，从而可以得到序列

该序列中元素的模，或者延伸至无穷大（发散），或者停留在有限半径的圆内（收敛）。而Mandelbrot集合正是使该序列中所有元素的模均收敛的点的集合。

例如，当时，通过迭代得到的序列为（0，1，2，5，26…），显然该序列中元素的模会趋于无穷大；当时，通过迭代得到的序列为, 所有元素的模一直停留在有限半径的圆内。

事实上，一个点属于Mandelbrot集合当且仅当它对应的序列中的任何元素的模都不大于2。（我也不知道为什么，总之这就是后面代码实现中的关键）

 

 

算法实现流程

1.    创建PPM图像文件（通过RGB三种颜色显现的图像），图像中的像素可作为坐标轴当中的点，并给定原点坐标；

2.    定义迭代函数，用以检验某个点是发散还是收敛；

3.    检验图像中的每一个点（像素），并对收敛和发散的点进行不同的着色处理，绘制形成目标图像。

 

实现代码

https://gitee.com/CharlesLovesCoding/Mandelbrot-Set   代码由同济大学MPC同学提供

代码运行生成的PPM文件可用Photoshop或者XnView打开，结果如下：

 

迭代次数可间接反映发散程度，本代码中将迭代次数在不同范围内的点进行分层，并赋予不同范围内的点不同的蓝值，由此产生如图效果。读者们可以修改代码设置不同的上色方案，以产生不同的效果。

参考文献

1.    分形-维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%BD%A2

2.    曼德博集合-维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E5%BE%B7%E5%8D%9A%E9%9B%86%E5%90%88