c++ 红黑树

红黑树（Red-Black Tree）是一种自平衡的二叉查找树，它是由节点的颜色和结构性质来维持平衡的。红黑树的形成可以追溯到1972年，由 Rudolf Bayer 提出，并由 Guibas 和 Sedgewick 进一步完善。

红黑树的作用主要在于提供高效的插入、删除和查找操作。它通过保持以下五个性质来实现平衡：

1. 每个节点是红色或黑色。
2. 根节点是黑色。
3. 每个叶子节点（NIL 节点）是黑色。
4. 如果一个节点是红色，那么它的两个子节点都是黑色。
5. 对于每个节点，从该节点到其子孙叶子节点的简单路径上，均含有相同数目的黑色节点。

这些性质保证了红黑树的高度差不会超过两倍，从而保证了插入、删除和查找操作的时间复杂度为 O(log n)。

以下是一个简单的例子，展示了一个红黑树的结构：

                  11 (黑)
               /        \
           7(红)        15(黑)
         /     \      /     \
      5(黑)   9(黑) 13(红) 20(红)

在这个例子中，根节点是黑色，叶子节点为NIL节点，每个红色节点的两个子节点都是黑色，每条从根到叶子节点的路径上都有相同数目的黑色节点。

当向红黑树中插入或删除节点时，会通过旋转和重新着色来保持红黑树的平衡性质。插入和删除操作的具体过程可以根据情况分为四种情况：

1. 黑节点的两个子节点都是红色：此时可以通过重新着色将两个红色节点转换为黑色节点，并将父节点着色为红色，然后递归处理上层。
2. 在左子树的左子树上插入或删除节点：此时可以通过右旋转来保持红黑树的平衡。
3. 在右子树的右子树上插入或删除节点：此时可以通过左旋转来保持红黑树的平衡。
4. 在左子树的右子树上插入或删除节点：此时可以通过先左旋转再右旋转来保持红黑树的平衡。

通过这些操作，红黑树能够保持平衡并且保证高效的插入、删除和查找操作。

总结起来，红黑树是一种高效的自平衡二叉查找树，通过保持节点的颜色和结构性质来实现平衡。它的形成可以追溯到1972年，作用主要在于提供高效的插入、删除和查找操作。以上是关于红黑树的形成、作用和一个例子的详解。