矩阵的特征值与特征向量

 

矩阵的特征值与特征向量

 

一个m×n的矩阵是n维线性空间V1到m维线性空间V2的一个线性映射的表示，当m=n时，线性变换的矩阵是一个n×n方阵。线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的，即B = P^-1AP（P为由一组基到另一组的过渡矩阵，过渡矩阵可逆）我们希望能找到一组基，使得线性变换在这组基下所对应的矩阵具有简单的结构，如对角矩阵或jordan形矩阵，因为这样结构简单的矩阵便于研究与计算。

首先，我们考虑能否相似于一个对角矩阵，即矩阵可对角化。有了这个目标，可以采用逆向思维的方法，B = P^-1AP，PB = AP，把P写成列向量的形式 P = (ɑ1,ɑ2,… ,ɑn),则 PB=AP 写成：

 

 

 

λ1…λn是矩阵A的特征值，ɑ1,ɑ2,… ,ɑn 是特征值所对应的特征向量，特征向量按列排成过渡矩阵P。关键在于求矩阵的特征值和特征向量， 如果矩阵有n个线性无关的特征向量，则由特征向量按列排成的过渡矩阵可逆，就可对角化，且对角矩阵就是对应的特征值，排列顺序与过渡矩阵P中的特征向量的顺序一致。如果矩阵没有n个线性无关的特征向量，则可以相似于一般的jordan形矩阵，通过线性无关的特征向量、jordan形矩阵构造一个过渡矩阵P，使得P^-1AP是一个jordan形矩阵。

任何方阵都相似于一个jordan形矩阵。相似的矩阵具有相同的特征值（因为他们有相同的特征多项式|λI-A|＝|λI- P^-1AP |），特征向量用来求过渡矩阵P，特征值是相似矩阵的不变量，而特征向量是不一样的，因基的不同而不同。

 

当矩阵是一个Hermite矩阵，A^H = A，讨论矩阵的合同B=P^HAP，Hermite一定合同于一个对角矩阵，（非Hermite矩阵，合同就退化为一般的相抵，其实都是对矩阵作初等变换）。相合关系是由二次型引出的，一个二次型对应一个Hermite矩阵，x^HAx ，对x作一次线性替x=Py，(Py)^HA(Py) = y^HP^HAPy = y^HBy，B=P^HAP。我们希望能找到一个线性替换，使得A相合于一个对角形式，存在酉变换，合同相似于实对角矩阵，对角线上的元素是特征值，存在一般的线性替换，使得A相合于“相合标准型”，得到矩阵的惯性指数，即正特征值个数、负特征值个数、零特征值个数。