排列组合之错排问题总结

目测最近要刷刷关于排列组合的题目。。。

所以现在将遇到的那些熟悉却已经忘记的问题都总结一下。。

第一发: 错排以及错排公式


其实错排问题对于程序算法而言,就是递归问题。因为错排的理解其实就是相当于阶乘似的不断递归。

而且最关键的是很容易理解。不想阶乘那样,一旦超过一个上限,还要用大数来表示。。。。


好吧,废话说完了。具体的错排算法如下:


递推的推导错排公式

当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时 有两种情况⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;
综上得到
M(n) = (n-1) * [ M(n-2) + M(n-1) ]
特殊地,M(1) = 0 ; M (2) = 1 ;
下面通过这个递推关系推导通项公式:
为方便起见,设M(k)=k!N(k),(k=1,2,…,n)
则N⑴=0,N⑵=1/2
n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)
即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)
于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N⑵-N⑴]=(-1)^n/n!
因此
N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
N⑵-N⑴=(-1)^2/2!
相加,可得
N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
因此
M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
可以得到
错排公式为M(n) = n! *(1/2! - 1/3! + ….. + (-1)^n / n! )

容斥原理

正整数1、2、3、……、n的全排列有n!种,其中第k位是k的排列有(n-1)!,当k取1、2、3、……、n时,共有n*(n-1)!种排列,由于是错排,这些排列应排除,但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次,应补上;在补上时,把同时有三个数不错排的排列多补上了一次,应排除;……;继续这一过程,得到错排的排列种数为
M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1)^n*n!/n!=sigma(k=2~n) (-1)^k*n!/k!
即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!]
注:sigma表示连加符号,(k=2~n)是连加的范围

简化公式

另外:书上的错排公式为Dn=n!(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!-.....+(-1)^n/n!)(注:0!=1,参见 阶乘),此公式算n很大时就很不方便.后来发现它可以用级数知识化简为1个优美的式子 Dn=[n!/e+0.5] (e,即 自然对数的底,[x]为取整函数即x向下取整.)
公式证明较简单.观察一般书上的公式,可以发现e-1的前项与之相同,然后作比较可得/Dn-n!e-1/<1/(n+1)<0.5,于是就得到这个简单而优美的公式(此仅供参考)
参考文献:《百度百科》--错排公式: http://baike.baidu.com/link?url=LdDlJZHDHdqkfILN7YlPcC9AhlkvHPgZf5wbGnbOy3WmFWdL_OiClbJr006hYgsh



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