浅谈几大最短路

常用四大最短路算法：

Dijkstra: 平凡实现O（V^2），使用数据结构堆优化O（ElogV），不适用于负权 半优推

Bellman-Ford: O(（V*E）适用负权

SPFA: O（kE (k一般<=2)） 适用负权  优推

Floyd-Warshall: O（V^3）适用负权

SPFA操作：

（1）初始化： d数组全部赋值为INF（无穷大），d[s]=0；prev数组全部赋值为-1，表示还没有知道前驱；

 ps：在整个算法中有顶点入队标记vis数组，有顶点出队了消除那个标记；

（2）队列+松弛操作：读取队头顶点u，并将队头顶点u出队（出队消除标记）；将与点u相连的所有点v进行松弛操作，如果能更新估计值（即令d[v]变小），那么就更新，另外，如果点v没有在队列中，那么要将点v入队（入队标记），如果已经在队列中了，那么就不用入队，以此循环，直到队空为止就完成了单源最短路的求解；

下面是几种最短路的实现代码，由于存储数据的数据结构的不同，遍历操作可能略有不同，邻接表的几种实现参见点击打开链接；

Bellman-Ford：

struct edge
{
   int from;
   int to;
   int cost;
}es[E];

int d[V];

void Bellman-Ford(int s)
{
    for(int i=1;i<=V;i++)
        d[i]=INF;
    d[s]=0;
    while(true)
    {
        bool update=false;
        for(int i=1;i<=E;i++)
        if(d[es[i].from]!=INF&&d[es[i].to]>d[es[i].from]+es[i].cost)
        {
           d[es[i].to]=d[es[i].from]+es[i].cost;
           update=true;
        }
        if(!update)  
           break;
    }
}

int main()
{
    /*...*/
	for(int i=1;i<=E;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&es[i].from,&es[i].to,&es[i].cost);
    }
    Bellman-Ford(1);
    /*...*/
    return 0;
}

Dijkstra:（一般实现O（V^2））

int cost[max_V][max_V];//不存在时INF
int d[max_V];
bool used[max_V];
int V;

//从s出发的各个顶点的最短距离
void dijkstra(int s)
{
         fill(d,d+V,INF);
         fill(used,used+V,false);
         fill(prev,prev+V,-1);
         d[s]=0;
         
         while(true)
         {
                  int v=-1;
                  //从尚未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点
                  for(int u=0;ud[v]+cost[v][u])
                          {
                                  d[u]=d[v]+cost[v][u];
                                  prev[u]=v;
                           }
                  /*若不求路径
                  for(int u=0;u Path(int t)
{
         vector path;
         for(;t!=-1;t=prev[t])
                 path.push_back(t);
         //翻转
         reserve(path.begin(),path.end());
         return path;
}

SPFA_bfs:（优推）

int spfa_bfs(int s)
{
    queue q;
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    d[s]=0;
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    memset(vis,0,sizeof(vis));

    q.push(s);  vis[s]=1; cnt[s]=1;//顶点入队vis要做标记，另外要统计顶点的入队次数
    while(!q.empty())
    {
        int x;
        u=q.front(); q.pop(); vis[u]=0;//队头元素出队，并且消除标记
        for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next)//采用链式前向星的遍历 
		{
            int v=edge[i].to;  
            if( d[u]+edge[i].costV)  //存在一点入队次数大于总顶点数，说明有负环
                        return 0;
                }
            }
        }
    }
	return 1;
}

Floyd:（多源点最短路）

/*核心：dp思想*/
int d[max_v][max_v];//边的权值，不存在设为INF，不过d[i][i]=0

void floyd()
{
    for(int k=0;k