二分专题 (一)
二分专题（一）
话说十个二分九个错，二分不写不知道，一写吓一跳。
解二分的重点还是思维比较重要，当然还有一个重要的就是，二分别写挂了。
CodeForces 165B Burning Midnight Oil
题目大意
给出数字n,k，求得最小的数字v使得：
数据范围： 1≤n≤109,2≤k≤10
题意分析
对于式子中的下取整部分可以暴力求和，复杂度为 logv 。如何求解v呢？不难发现式子满足一致性：即如果v取小了，式子之和是小于等于n的；如果取大了，那么就会大于等于n。并且如果和值大了就应该减小v的取值，和值小了应该增大v的取值。 这恰恰和二分的思想是一样的，由此可以二分v来寻找答案。
时间复杂度： log2n
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#include CodeForces 192A Funky Numbers
题目大意
给出一个整数n，当n可以写成 a(a+1)2+b(b+1)2 时 (其中a,b均为整数，ab可以相等)，输出YES，否则输出NO。
数据范围： 1≤n≤109
题意分析
题目并没有要求n的表达唯一，如果可以的话，只需要找出一组解即可。其实和式并没有什么规律。如果采用暴力算法，最坏情况内外层层循环 2n−−√ 次，这时近似有 2n=k2 ，则 k=2n−−√ 。想到这里，其实不难发现，对于特定的i，j其实也满足决策一致性，这样就可以采用二分的方法求解。
时间复杂度： n√logn√
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#include1;
if(fsum+ssum>n) up = mid-1;
if(fsum+ssum==n){
isfind = true;
break;
}
}
}
if(isfind)printf("YES\n");
else printf("NO\n");
}
return 0;
} CodeForces 256D Multiplication Table
题目大意
给出一个n×m的格子，格子对应的值位其行列的乘积，求出整张表格中第k个数字。第k个数字的定义是，将整张表的数字按非递减写出，第k个数字即为所求。
数据范围： 1 ≤n, m≤ 5⋅105,1 ≤k ≤ n⋅m
题意分析
首先读题不要读错，一开始我以为是求第k大的数字，发现样例2说不过去，仔细读了一下题，题目中有他自己的定义。
由于每一行，每一列的数字都是满足单调性的，所以二分一定是一个不错的选择，但是如何进行二分呢？其实可以想到，题目中所说的第k大数字有一个性质：小于第k大的数字的个数，一定小于k个。如对应样例二，1 2 2 3均小于4。如此一来，利用这个单调性，便可以二分枚举k，逐行统计小于k的个数，然后求出答案。
时间复杂度： nlogn
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#includeCodeForces 672D Robin Hood
题目大意
给出n个数字，k次操作。每次操作可以将n个数字中的最大数减一，将最小数加一。经过k次操作后，n个数字中的最大值和最小值的差为多少。
数据范围： 1≤n≤500 000,0≤k≤109 , 数列元素 1≤ci≤109
题意分析
如果暴力算的话，肯定不行。其实想一下，如果进行无限次操作，最大值和最小值会在平均值上下浮动。进行二分的最关键的地方在于决策一致性。有了这个性质，就提供了一个思路。虽然无法直接暴力求出最后的最大值和最小值，但是可以用二分的方法来确定。
首先二分最小值，数列中比最小值小的元素一定是一次次+1变过来的，这样就可以统计出经过了多少次变换。然后跟题目中给出的k做比较，利用决策一致性改变二分上下界，从而求出最小值。
接着二分最大值，数列中比最大值大的元素一定是一次次-1变过来的，同理统计出经过多少次变换。如法炮制可以求出最大值。
最大值和最小值的差即为所求。
这里有一个坑，就是二分初始化上下界。
最小值一定小于等于floor(average)，而最大值一定大于等于ceil(average)。如果上下界分别设定为数列中的最大元素和最小元素，这样的话会出现问题：有可能最后求出的最大值比最小值还小。
时间复杂度： nlogn
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#includeabs(x-a[i]);
if(tmp<0) return false;
}
return true;
}
bool findmax(int x){
ll tmp = k;
for (int i = 0;i< n ;++i){
if(a[i]>x) tmp -= abs(a[i]-x);
if(tmp<0) return false;
}
return true;
}
int main(){
while(scanf("%lld %lld", &n,&k) != EOF){
sum = 0;
for(int i = 0;i < n;++i){
scanf("%lld", &a[i]);
sum += a[i];
minn = min(minn,a[i]);
maxn = max(maxn,a[i]);
}
ll down = minn,up = sum/n,mid = 0,l,r;
while(down <= up){
mid = down + (up - down) / 2;
if(findmin(mid)){
l = mid;
down = mid + 1;
}else up = mid - 1;
}
down = (ll)ceil(1.0*sum/n),up = maxn ,mid = 0;
while(down <= up){
mid = down + (up - down) / 2;
if(findmax(mid)){
r = mid;
up = mid - 1;
}else down = mid + 1;
}
printf("%lld\n",r-l);
}
return 0;
} CodeForces 660C Hard Process
题目大意
给出n个元素的01序列，现在可以进行k次操作。每次操作可以将0变为1。请你求出操作后最长连续1的序列的长度，并且输出整个序列。
数据范围： 1≤n≤3×105,0≤k≤n
题意分析
这道题看起来和二分没啥关系。不过想想二分是对枚举的优化，暴力的做法是枚举起点和终点，统计里面0的个数，然后判断个数是否小于k，然后更新答案。对这个枚举思想，其实就可以加以改进。枚举一个起点（或终点）之后，对另外一个端点进行二分判断。如果区间内0的个数小于k，说明可以扩大这个区间，从而更新端点。直至不满足二分上下界为止。
时间复杂度： nlogn
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#includeCodeForces 535C Tavas and Karafs
题目大意
给出一个无限长序列，通项为 si=A+(i−1)×B ，现在有n个询问。每个询问包括l,t,m三个参数。每次询问可以执行t次操作，每次操作可以将 [sl,sl+m] 区间内的元素值减一，若 sl 减至为0，l自增1。每次询问中，执行完操作后，全为0的序列部分的右端点是多少。若没有0，输出-1;。
数据范围： 1≤A,B≤106,1≤n≤105,1≤l,t,m≤106
题意分析
首先可以确定的是，如果 sl<t 那肯定没有0，输出-1即可。
否则的话，二分一个分界点r，这个问题可以变成 sl+sl+1+sl+2+⋯+sl≤t∗m ，所需要求的也就是一个等差数列前n项和。
时间复杂度： nlog(l+t)
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#include未完待续……