Standard IO-----数的划分问题（一）（CCF 1185）

数的划分问题（一）

题目描述
把正整数N分解成M个正整数的和，即使M个数相同但顺序不同也认为是不同的方案，要求总方案数。如3=1+2跟3=2+1是两个不同的方案。

输入
第一行包含两个整数N和M(1<=M<=N<=50)。

输出
输出一个数表示方案数。

样例输入

3 2

样例输出

2

数据范围限制

1<=M<=N<=50

做题地址：CCF中学生程序设计在线评测系统-1185. 数的划分问题（一）（需要注册）

---

作为一道DP，首先要用搜索的眼光去看：

题目已经说明：

方案数可以重复
最小值为1
m不会大于n

可以使用深搜，把拆分的每一个数的每一种情况进行枚举，统计方案。

1<=M<=N<=50

应该不会TLE吧……

#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,tot;
void dfs(int t,int sum)
{
    if(t==m && sum==0)
    {
        tot++;
        return ;
    }
    if(t>m || sum<0)
        return ;
    for(int i=1;i<=sum;i++)
        dfs(t+1,sum-i);
}
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    dfs(0,n);
    printf("%d\n",tot);
}
/*
    结果：时间超限
    运行时间：132 ms
    运行空间：296 KB 
    代码长度：305 bytes
*/

---

记忆化搜索？
把每个n，m对应的答案存在数组里，需要时直接使用

递归式？
猜猜看，哪个是正确的递归式

1：

    if(f[n1][m1]) return f[n1][m1];
    if(n1==m1) return f[n1][m1]=1;
    if(m1==1) return f[n1][m1]=1;
    if(m1>2) return F(n1,m1-1)+F(n1-1,m1)-1;
    return F(n1,m1-1)+F(n1-1,m1);

2：

    if(m1==1 || n1==m1) return 1;
    if(n<1) return 0;
    if(f[n1][m1]) return f[n1][m1];
    int s=0,t=n1-m1+1;
        for(int i=1;i<=t;i++)
            s+=F(n1-i,m1-1);
    return f[n1][m1]=s;

是1，还是2？

都不对 O(∩_∩)O~（恭喜你被耍了）

正确的递归式:

    if(m1==1 || n1==m1) return 1;
    if(n<1) return 0;
    if(f[n1][m1]) return f[n1][m1];
    long long s=0;
    int t=n1-m1+1;
        for(int i=1;i<=t;i++)
            s+=F(n1-i,m1-1);
    return f[n1][m1]=s;

鉴于此题数据过大，储存方案需用long long int

1<=M<=N<=50(过大的数据)

正确的记忆化搜索

#include
#include
#include
using namespace std;
long long n,m,f[55][55];
long long int F(long long int n1,long long int m1)
{
    if(m1==1 || n1==m1) return 1;
    if(n<1) return 0;
    if(f[n1][m1]) return f[n1][m1];
    long long s=0,t=n1-m1+1;
        for(int i=1;i<=t;i++)
            s+=F(n1-i,m1-1);
    return f[n1][m1]=s;
}
int main()
{
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    scanf("%lld %lld",&n,&m);
    printf("%lld\n",F(n,m));
}
/*
    结果：评测通过
    运行时间：0 ms
    运行空间：316 KB 
    代码长度：432 bytes
*/

---

DP在此

这里的DP就是根据边界得到的初始数据，一步一步推出来的（怎么感觉像递推O(∩_∩)O~）

有两种边界处理方法（两种初始化方法）

1:

#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m;
long long f[55][55];
int main()
{
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=50;i++)
        f[i][i]=f[i][1]=1;
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!f[i][j])
            for(int k=1;k<=i;k++)
                f[i][j]+=f[i-k][j-1];
    printf("%lld\n",f[n][m]);
}

2:

#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m;
long long f[55][55];
int main()
{
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    scanf("%d %d",&n,&m);
    f[0][0]=1;
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int k=1;k<=i;k++)
                f[i][j]+=f[i-k][j-1];
    printf("%lld\n",f[n][m]);
}

差别自己找

---

IN THE END

如果把DP中初始化后的数组打印出来：

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……

这不是杨辉三角么？（( ⊙ o ⊙ )啊！）