Nim游戏

1 背景

  根据百度百科：Nim游戏是博弈论中最经典的模型（之一），它又有着十分简单的规则和无比优美的结论 Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，准确来说，属于“Impartial Combinatorial Games”（以下简称ICG）。

2 问题描述

  Nim游戏是一种两个人玩的游戏，玩家面前是一堆石头，假设有$k\ge 1$堆石头，每堆分别有$n_1,n_2,\cdots ,n_k$块石头。这一游戏的目标就是取得最后一块石头，游戏规则如下：

1. 玩家轮番出场，第一个取子的玩家记为$A$，第二个取子的玩家记为$B$
2. 当轮到一个玩家取子时，他们都要从选择的石头堆中至少取走一块石头（这位玩家也可以把所选石头堆的石头全部取走，于是便少了一堆）

  我们的问题有两个：

1. 确定第一个玩家胜利还是第二个玩家胜利
2. 为了获胜，这位玩家应该如何取子，即获胜策略

3 特殊情况

  这是一般情况下要遵守的重要原则，即先考虑小的或特殊的情况，然后再尝试着拓展这一思路去解决更一般的问题。

  首先考虑$k=1$的情况。显然，先出手的玩家$A$取走这一整堆就可以获胜。

  其次考虑$k=2$的情况，此时分别有$n_1,n_2$块石头。这个时候玩家$A$是否可以获胜不取决与具体的$n_1,n_2$值，而是取决于他们是否相等。假设$n_1\ne n_2$，那么玩家$A$可以从较大堆中取走适量的石头，从而给玩家$B$剩下两堆相等的石头堆，接下来无论$B$取走多少块石头，$A$只要从另一堆取相同数量的石头就好了。这个策略就保证了玩家$A$可以获胜。但是如果$n_1=n_2$，那就变成了$B$模仿$A$的取子方式而获胜。因此$k=2$时的Nim游戏问题就被解决了。下面是$2$堆石头的例子，其中$n_1=8,n_2=5$：
$$8,5\stackrel{A}{\to }5,5\stackrel{B}{\to }5,2\stackrel{A}{\to }2,2\stackrel{B}{\to }0,2\stackrel{A}{\to }0,0$$

4 一般情况

  上述$2$堆特殊情况的Nim游戏思路是：用某种方式取子使得剩余两堆的大小相同。这一想法可以推广到任意$k$堆的情况。推广的关键是二进制整数的概念。我们可以将每一个正整数都转换为二进制，例如：
$$57=2^5+2^4+2^3+1^0\to 111001$$
对于一堆石头，我们可以认为它是由$2$的幂的子堆组成的。因此$57$块的石头堆可以视为由$2^5,2^4,2^3,1^0$大小的子堆组成。

  对于$2$堆Nim游戏，各种大小的子堆总数只能是$0,1,2$。具有特定大小的子堆正好有一个当且仅当这两堆的大小不同，也就是说，各种大小的子堆总数是偶数当且仅当这两堆大小相同。

  现在来考虑大小为$n_1,n_2,\cdots ,n_k$的一般的Nim游戏。我们把每一个数字$n_i$表示成二进制：
$$\begin{gathered} n_1=a_s\cdots a_1{a}_0 \\ {n}_2=b_s\cdots b_1{b}_0 \\ ⋮ \\ {n}_k=e_s\cdots e_1{e}_0 \end{gathered}$$
我们可以通过在每个二进制数前面补$0$来将所有二进制的位数变得一致。我们称一个游戏是平衡的，指的是各种大小的子堆数是偶数。因此一个Nim游戏是平衡的当且仅当：
$$\begin{gathered} a_s+b_s+\cdots e_s为偶 \\ ⋮ \\ {a}_1+b_1+\cdots e_1为偶 \\ ⋮ \\ {a}_0+b_0+\cdots e_0为偶 \end{gathered}$$
若一个Nim游戏是不平衡的，则称它为非平衡的。我们说第$i$位是平衡的，指的是和$a_i+b_i+\cdots +e_i$是偶数，否则就是非平衡的。因此，如果一个游戏是平衡的，则它在各个位上都是平衡的，而对于非平衡游戏来说，至少存在一个非平衡位。

  于是我们有一个结论：玩家$A$能够在非平衡Nim游戏中获胜，而玩家$B$能够在平衡Nim游戏中获胜。

  假设这个Nim游戏是非平衡的。设最大不平衡位是第$j$位。于是，玩家$A$以某种方式取走硬币给玩家$B$留下一个平衡游戏，他的做法是：选出一个第$j$位上是$1$的堆，并从中取走一定数目的硬币使得剩下的游戏是平衡的。无论玩家$B$怎么取，他都会给$A$留下一个不平衡游戏，玩家$A$再上述做法将这个游戏变平衡。这样便保证了玩家$A$获胜，反之如果游戏一开始就是平衡的，则$B$获胜。

5 例子

  给定一个$k=4$的Nim游戏，其中堆的大小为$7,9,12,15$ ，我们将其表示为二进制：
$$\begin{array}{r}7\to 0111\\ 9\to 1001\\ 12\to 1100\\ 15\to 1111\end{array}$$
这个游戏的第$3,2,0$位是不平衡的。这时玩家$A$可以有$3$中方式取走石头：

1. 从$9$中取走$5$块，变为$0100$
2. 从$12$中取走$11$块石头，变为$0001$
3. 从$15$中取走$13$块石头，变为$0010$

6 直接判断胜负的方法

  对于给定的$k$堆石头，大小为$n_1,n_2,\cdots ,n_k$，根据上面对平衡和非平衡的讨论，我们可以直接将这些数字异或起来来判断谁赢：如果$n_1\oplus n_2\oplus \cdots \oplus n_k\ne 0$则说明游戏非平衡，$A$赢，反之$B$赢。

7 参考资料

• 百度百科 Nim游戏
• 《组合数学》第5版 P10-P12