蒙特卡罗(Monte Carlo)方法计算圆周率

蒙特卡罗方法

当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

工作过程

蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。

蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤：

（1）构造或描述概率过程

对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过 程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。

（2）实现从已知概率分布抽样

构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。

（3）建立各种估计量

一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。

 

 

徐不可说：蒙特卡罗方法是典型运用计算思维来求解问题的方法。当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。与生硬运用数学公式计算不同，蒙特卡罗方法能够更加精准模拟问题求解。

以下为蒙特卡罗方法求解圆周率的python代码:

#撒点方法 形成单位正方形
from random import random
from time import perf_counter #计算机当前时间
darts=1000*1000*10
hits=0.0
start=perf_counter()
for i in range(1,darts+1):
	x,y=random(),random()
	dist=pow(x**2+y**2,0.5)
	if  dist <= 1.0:
		hits=hits+1
pi=4*(hits/darts)
print("运行时间是：{:.5f}s".format(perf_counter()-start))
print("圆周率的值是：{}".format(pi))
input()

以下为基于已知公式

用python实现数学公式求解的代码：

#圆周率的计算
pi=0
n=100
for k in range(n):
	pi+=1/pow(16,k)*(4/(8*k+1)-2/(8*k+4)-1/(8*k+5)-1/(8*k+6))
print("圆周率为：{}".format(pi))
input()