（数论）素数的几种基本筛法整理归纳

这段时间做素数的题目的时候，做到了关于素数的题目，然后简单整理了一下几种素数筛法：

（为了写几个模板提供以后CTRL+C+CTRL+V）

1.这种筛法是我们最开始接触语言的时候用的最基本的方法

int GetPrime(int n)
{
//n==1的时候这里要加上一个特判
	for(int i=2;i

2.后来我们发现其实并不需要对于所有的都来一遍，我们发现其实只需要到平方根就可以了，然后就有了下面的优化

int GetPrime(int n)
{
//n==1的时候这里要加上一个特判
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	{
		if(n%i==0)
		return 1;
	}
	return 0;
}

3.利用数论之中的定理整数唯一分解定理来做：

vector factor(int n)
{
	vector ret;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		while(x%i==0)
		{
			ret.push_back(i);
			x/=i;
		}
	}
	if(x>1)
	ret.push_back(x);
	return ret;
}

4.然而，在很多中情况下面，我们不仅仅需要单单的判断一个数字是否是一个素数，而且更多的是需要一个表，由此来进行对于素数的贮存，我们称之为素数表，以次来更好的呃解决相关的素数问题：

于是我们可以用埃氏筛法：

埃氏算法的主要思想就是：

对于任何一个合数a，我们都可以写成一个素数和另外一个数的乘积（p*k），这个另外一个数表示倍数，我们对于这个倍数进行枚举，对于每一个枚举的倍数带来的结果都进行标记，即可，我们有一个优化，我们只需要筛选比素数p大的k，如果比素数p小的话，在前面的筛选过程中会被筛出，而且就像前面一样，我们需要枚举到根号n就可以了

#define maxn 1000000
bool isPrime[maxn+1];
void aishi(int n)
{
	int i,j;
	isPrime[0]=isPrime[1]=false;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	isPrime[i]=true;
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	{
		if(isPrime[i])
		{
			for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
			{
				isPrime[j]=false;
			}
		}
	}
}

5.我们用埃氏算法进行筛选的时候，我们在用的时候我们其实可以发现，有的合数其实会被多次筛选，那么我们可不可以对它优化呢，这个时候我们就需要用到欧拉筛法（线性筛）了

如果每个合数只被它的最小素因数筛出，那么每个数最多只被筛一次

void xianxin(int n)
{
	memset(isprime,true,sizeof(isprime));
	prime[0]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(isprime[i])
		prime[++prime[0]]=i;
		for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=n;j++)
		{
			isprime[i*prime[j]]=false;
			if(i%prime[j]==0)
			break;
		}
	}
}

PS：用埃氏筛法其实还可以快速实现素因数的分解，我们只需要记录每一次的的最小素因数就可以了，

#define maxn 1000000
bool isPrime[maxn+1];
int minFactor[maxn+1];
void aishi(int n)
{
	int i,j;
	isPrime[0]=isPrime[1]=false;
	minFactor[0]=minFactor[1]=-1;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		isPrime[i]=true;
		minFactor[i]=i;
	}
	for(i=2;i*i<=n;i++)
	{
		if(isPrime[i])
		{
			for(j=i*i;j<=n;j+=i)
			{
				isPrime[j]=false;
				if(minFactor[j]==j)
				minFactor[j]=i;
			}
		}
	}
}
vectorfactor(int x)
{
	vectorret;
	while(x>1)
	{
		ret.push_back(minFactor[x]);
		x/=minFactor[x];
	}
	return ret;
}

今天的解答就到这里啦！~~~