图论的基本知识（二）

<黑书总结>

关键词：独立集、团、完美图

1.独立集

1)定义：无向图G中选一个点集U，任意两点在G中不相邻

等价定义：点集U，导出子图是零图

2)独立集的性质：

1.独立集的子集仍是独立集

3)极大独立集：不能被任何一个独立集包含的独立集

4)最大独立集：极大独立集中点数最多的一个，顶点数记为a(G)。对一般图来说，a(G)很难计算

5)特殊图的独立集（结论）

1.零图Nn：n

 2.完全图Kn：1

 3.二分图Km,n：|X|+|Y|-max_match(|M|)

 4.树：dp可以求出

2.团

1)定义：无向图G中选出一个点集，任意两点在G中都相邻

等价定义：点集U，导出子图是完全图

2)团的性质

1.团的子集仍是团

3)极大团：不能被任何一个团包含的团

4)最大团：点数最多的团，顶点数记为w(G)

重要性质：

由于团和独立集定义的互补性可知：a(G)=w(!G)

!G是G的补图

3,二者关系

1)最小独立集划分

定义：无向图G最少可以划分为多少个独立集（不相交），最小值记为X(G)

等价定义：最少用多少种颜色给地图着色，使得任意两点颜色不相同

同一种颜色不相邻，构成一个独立集，所以最小着色问题就是最小独立集划分问题

2)最小团划分

定义：无向图G最少可以划分成多少个团（不相交），最小值记为⊕(G)

重要性质：

1.X(G)=⊕(!G)

2.X(G)>=w(G)、⊕(G)>=a(G)

不相邻的点一定属于不同团划分，相邻的点一定属于不同独立集划分,因此不等式成立

3)完美图

G的任意导出子图G’都满足X(G‘)=w(G‘)，则G是X-完美图

G的任意导出子图G’都满足⊕(G‘)=a(G’)，则G是⊕-完美图

定理：G是X-完美图 <=> G是⊕-完美图，G是X-完美图 <=> !G是X-完美图

------------------------------------------------------------添加-------------------------------------------------------------------------------------------------------

最小点覆盖集：最少的点集，每条边至少有一个端点被覆盖

最小路径覆盖：最少的（点）不相交的简单路径，覆盖有向图中所有的点。每个单独的点可以看做一条路径

结论：

1.二分图的最小点覆盖数=最大匹配数（Koning定理）

2.DAG图的最小路径覆盖数=顶点数-对应二分图的最大匹配

二分图建图方法：将DAG图中每个点u分为u0和u1，DAG图中u->v，则二分图中连接u0-v1

简证：已得到对应二分图的最大匹配M，M中的连边u0-v1作为路径覆盖中的边u->v，这样一定构成一个路径覆盖。因为匹配的定义保证了构造的路径中每个点的入度/出度至多为1。对于路径覆盖中的每条简单路径，除了结尾节点外都有唯一的后继---匹配节点与之对应。因此匹配数就是非结尾结点个数（匹配数=匹配边X集合的点个数=非结尾结点个数）。当匹配边数达到最大时，非结尾节点数也达到最大。此时，结尾结点数最少，即路径数最少。

3.无向图的最大独立集=|V|-最小点覆盖集

实际上，无向图的每一个独立集S都与一个点覆盖集T=V-S对应

重新定义，可以对互补性有更清晰的认识。

点覆盖集：对于每条边，至少有一个点要被选中

独立集：对于每条边，至少有一条边未被选中