最小生成树总结

一.最小生成树问题

给定一张图，图中有许多的节点还有许多长度不同的边将这些点点相互连接，找出连接所有点的最短方式就是最小生成树，可以证明，这样一种最小的情况是不会出现环的，由于所有的无环图都可以看做树，所以成为最小生成树。

二.kruskal算法

顶层思想是分治，选择策略是贪心，实现方法如下：以边为中心，先将所有的边从小到大进行排序，之后依照大小顺序依次选择，如果这条边连接的两个节点是不连通的（判断联通状态可以使用并查集），那么久选择这条边，否则就不选择，因为这个算法是以边为中心的所以用来计算稀疏图更快一些。

问题描述

给定一个有权值的图，找出联通图内所有节点的最小路径。

数据

6 9

2 4 11

3 5 13

4 6 3

5 6 4

2 3 6

4 5 7

1 2 1

3 4 9

1 3

 

代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int f[50];
struct line
{
    int u;
    int v;
    int w;
}lines[50];
int cmp(const void *a,const void *b)
{
    return (*(line *)a).w>(*(line *)b).w?1:-1;
}
void init(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
}
int getf(int a)
{
    if(f[a]==a) return a;
    else
    {
        f[a]=getf(f[a]);
        return f[a];
    }
}
int  merge(int a,int b)
{
    int t1,t2;
    t1=getf(a);
    t2=getf(b);
    if(t1!=t2)
    {
        f[t2]=t1;
        return 1;
    }
    else return 0;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    freopen("/Users/zhangjiatao/Desktop/input.txt","r",stdin);
    int n,m,sum;
    sum=0;
    cin>>n>>m;
    init(n);
    for(int i=0;i<=m-1;i++)
    {
        cin>>lines[i].u>>lines[i].v>>lines[i].w;
    }
    qsort(lines,m,sizeof(lines[0]),cmp);
    for(int i=0;i<=m-1;i++) cout<

 

二.prime算法

一.算法分析
 
首先描述一下prim算法的步骤，首先将所有的点分为两类，第一类是在生成树中的节点，第二类是不在生成树中的节点，我们首先任取一个节点放入生成树中，然后找到距离这棵树（当前状态就是这个点）最近的点，然后将其放入到生成树中，之后再进行寻找距离这棵树最近的点，直到将所有的节点都加入到生成树中。
 
我们发现其实主要的思想方法就是贪心法，那么这个贪心法到底正不正确呢（贪心法好像老是叫人不放心啊）？让我们来证明一下，我们利用反证法，假设我们不选择距离这棵树最近的点（权值最小的边），然后生成了一颗完整的树，我们假设这是最小生成树，之后我们将刚才那个权值最小的边加入这棵树中，因为这是一颗生成树，所以加入了一条边以后一定会产生一个环，那么在这个环中，任意去掉一个权值比这条边大的边，可以发现这棵树还是一个完整的生成树，但是却比原来小，和假设矛盾，所以我们的贪心策略的到证明。
 还要注意，由于这个算法是以点为中心的，所以我们相比kruskal来说更加适合于稠密图。
二.优化分析
 
这里我们有两个地方可以进行优化，首先是图的储存和边的查找，如果使用邻接表的话会比使用邻接矩阵快，其次，找到权值最小的边如果使用堆或者优先队列的话要比普通遍历快。
 
三.代码实现
代码实现的过程要注意，由于要使用邻接表来保存图，所以读入边的时候，要注意要将这条边在该边的两个端点处都保存一次。
 
//
//  main.cpp
//  prim
//
//  Created by 张嘉韬 on 16/3/19.
//  Copyright ? 2016年 张嘉韬. All rights reserved.
//

#include
#include
using namespace std;
int u[100],v[100],w[100],frist[100],nex[100],n,m,dis[100],book[100],sum;
int const maxn=99999999;
void change(int k)//use k point to change
{
    book[k]=1;
    int temp;
    temp=frist[k];
    while(temp!=-1)//search all the line which begin with k
    {
        if(book[v[temp]]==0&&w[temp]             dis[v[temp]]=w[temp];
        temp=nex[temp];
    }
}
int getm()
{
    int minnum=maxn,min=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(dis[i]     }
    sum+=minnum;
    return min;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    freopen("/Users/zhangjiatao/Desktop/input.txt","r",stdin);
    cin>>n>>m;
    sum=0;
    memset(book,0,sizeof(book));
    memset(nex,-1,sizeof(nex));
    for(int i=1;i<=n;i++) frist[i]=-1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>u[i]>>v[i]>>w[i];
        v[i+m]=u[i],u[i+m]=v[i],w[i+m]=w[i];
    }
    for(int i=1;i<=2*m;i++)
    {
        nex[i]=frist[u[i]];
        frist[u[i]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=maxn;
    change(1);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int min;
        min=getm();
        change(min);
    }
    cout<     return 0;
}