vijos1047题解
总算编好了这一题，我表示200+行，亚历山大。
题目描述很简单，做起来不简单啊。（高精度的取模和除法不是一般的恶心！）
先说一下非高精度的一般做法。
求两个数a,b的最小公倍数，就是a、b的乘积与a、b的最大公因数的商。即：lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b);
然而，如果a，b都是高精度数，我们不仅要算乘法和除法（看这个式子就知道了），还要有减法（因为mod运算中，c mod d=c-cdiv d*d)
求gcd(a,b)（最大公因数）一般有两种方法：辗转相除法（见http://baike.baidu.com/link?url=7yVbCI_TCmVcqMbEu_BgYb0ejvSJDZVmkw9g0UjrMU_3yaHAAFABgfjuk1ZT5rgI）和更相减损法（见http://baike.baidu.com/view/1340422.htm）。
题目描述很简单，做起来不简单啊。（高精度的取模和除法不是一般的恶心！）
先说一下非高精度的一般做法。
求两个数a,b的最小公倍数，就是a、b的乘积与a、b的最大公因数的商。即：lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b);
然而，如果a，b都是高精度数，我们不仅要算乘法和除法（看这个式子就知道了），还要有减法（因为mod运算中，c mod d=c-cdiv d*d)
求gcd(a,b)（最大公因数）一般有两种方法：辗转相除法（见http://baike.baidu.com/link?url=7yVbCI_TCmVcqMbEu_BgYb0ejvSJDZVmkw9g0UjrMU_3yaHAAFABgfjuk1ZT5rgI）和更相减损法（见http://baike.baidu.com/view/1340422.htm）。
---------------------------------------我是华丽的分界线--------------------------------------------
一开始的时候，为了避免麻烦的除法和取模，我想用更相减损法（虽然辗转相除法快很多）。
更相减损法简介：a和b为操作数。（设a=48,b=30）
（1）把a和b的2的因数都约掉（不约也没事，但这样更快）。如：变成a=24,b=15。
（2）若a>b，a=a-b；若b>a,b=b-a;
（3）重复（2）的操作，直到a和b相等。
如： (24,15)->(9,15)->(9,6)->(3,6)->(3,3)，即最大公因数为3*2=6。
---------------------------------------我是华丽的分界线--------------------------------------------
我好不容易编完、调试好后，发现超时严重哪！
原来，假设有两个数a=1999,b=1。求他们的最大公因数时，按照更相减损法的步骤，会进行1999次上下！！
即：a=a-b=1999-1=1998;
a=a-b=1998-1=1997;
…………
那么我们可以设想，如果a=10000000000000,b=1，我的程序会怎么样？！
---------------------------------------我是华丽的分界线--------------------------------------------
思考再三，我决定编辗转相除法。
首先我们要研究如何编高效的除法运算。二分有很好的效果。
基本思路：设a/b，a的位数是k1位，b的位数k2位。那么我们的答案ans=erfen（l,r)。其中一开始时，l=10000……（共k2-k1位），r=99999……（共k2-k1+1位）。二分的思路就是，如果当前的mid*b>a,向左二分，否则向右二分。
取模运算和除法几乎一样，只是后来要减一下，即a mod b=a-ans*b。
其他原理差不多，为了提高效率，我也先除了2。
---------------------------------------我是华丽的分界线--------------------------------------------
一开始的时候，为了避免麻烦的除法和取模，我想用更相减损法（虽然辗转相除法快很多）。
更相减损法简介：a和b为操作数。（设a=48,b=30）
（1）把a和b的2的因数都约掉（不约也没事，但这样更快）。如：变成a=24,b=15。
（2）若a>b，a=a-b；若b>a,b=b-a;
（3）重复（2）的操作，直到a和b相等。
如： (24,15)->(9,15)->(9,6)->(3,6)->(3,3)，即最大公因数为3*2=6。
---------------------------------------我是华丽的分界线--------------------------------------------
我好不容易编完、调试好后，发现超时严重哪！
原来，假设有两个数a=1999,b=1。求他们的最大公因数时，按照更相减损法的步骤，会进行1999次上下！！
即：a=a-b=1999-1=1998;
a=a-b=1998-1=1997;
…………
那么我们可以设想，如果a=10000000000000,b=1，我的程序会怎么样？！
---------------------------------------我是华丽的分界线--------------------------------------------
思考再三，我决定编辗转相除法。
首先我们要研究如何编高效的除法运算。二分有很好的效果。
基本思路：设a/b，a的位数是k1位，b的位数k2位。那么我们的答案ans=erfen（l,r)。其中一开始时，l=10000……（共k2-k1位），r=99999……（共k2-k1+1位）。二分的思路就是，如果当前的mid*b>a,向左二分，否则向右二分。
取模运算和除法几乎一样，只是后来要减一下，即a mod b=a-ans*b。
其他原理差不多，为了提高效率，我也先除了2。
---------------------------------------我是华丽的分界线--------------------------------------------
代码一：更相减损法（只过了三个点）
#include
#include
using namespace std;
struct arr
{
long num,p[101];
arr() {num=0;memset(p,0,sizeof(p));}
}a,b,ans;
long i,tot;
char u;
bool w[10001];
void change()
{
long i,t;
for(i=1;i<=a.num/2;i++){t=a.p[i];a.p[i]=a.p[a.num-i+1];a.p[a.num-i+1]=t;}
for(i=1;i<=b.num/2;i++){t=b.p[i];b.p[i]=b.p[b.num-i+1];b.p[b.num-i+1]=t;}
}
arr chen(arr a,arr b)
{
long i,j;
arr CHEN;
for (i=1;i<=a.num;i++)
for (j=1;j<=b.num;j++)
CHEN.p[i+j-1]+=a.p[i]*b.p[j];
CHEN.num=a.num+b.num-1;
for (i=1;i<=CHEN.num;i++)
if (CHEN.p[i]>9){CHEN.p[i+1]+=CHEN.p[i]/10;CHEN.p[i]%=10;}
while (CHEN.p[CHEN.num+1]>0)
{
CHEN.num++;
CHEN.p[CHEN.num+1]+=CHEN.p[CHEN.num]/10;
CHEN.p[CHEN.num]%=10;
}
return CHEN;
}
arr add(arr a,arr b)
{
long i,x=0;arr ADD;
ADD.num=a.num;if (b.num>ADD.num)ADD.num=b.num;
for (i=1;i<=ADD.num;i++)
{
ADD.p[i]=a.p[i]+b.p[i]+x;
x=ADD.p[i]/10;ADD.p[i]%=10;
}
while (x>0)
{
ADD.num++;
ADD.p[ADD.num]=x%10;
x=x/10;
}
return ADD;
}
arr jian(arr a,arr b)
{
long i=1,j,k;
while (i<=b.num)
{
if (a.p[i]>=b.p[i])a.p[i]=a.p[i]-b.p[i];
else
{
j=i+1;
while (a.p[j]==0) j++;
a.p[j]--;
for (k=i+1;kb.num) return 1;
if (a.num0;i--)
{
if (a.p[i]>b.p[i]) return 1;
else if (a.p[i]0;i--)
{
a.p[i]=(a.p[i]+x*10);
x=a.p[i]%2;
a.p[i]/=2;
}
x=0;
for (i=b.num;i>0;i--)
{
b.p[i]=(b.p[i]+x*10);
x=b.p[i]%2;
b.p[i]/=2;
}
tot++;
}
}
void make()
{
long temp;long i,j,k,flag=1,x;bool boo=true;
while (0==0)
{
temp=check(a,b);
if (temp==0) break;
k++;if (temp==1)
{
w[k]=true;
a=jian(a,b);
}
else
{
w[k]=false;
b=jian(b,a);
}
}
ans=a;
for (i=2;i<=a.num;i++) a.p[i]=0;
for (i=2;i<=b.num;i++) b.p[i]=0;
a.p[1]=1;b.p[1]=1;a.num=1;b.num=1;
for (i=k;i>0;i--)
{
if (w[i]) a=add(a,b);
else b=add(a,b);
}
a=chen(a,b);
ans=chen(a,ans);
for (i=1;i<=tot;i++)
{
x=0;
for (j=1;j<=ans.num;j++)
{
ans.p[j]=ans.p[j]*2+x;
x=ans.p[j]/10;
ans.p[j]%=10;
}
if (ans.p[ans.num+1]>0) ans.num++;
}
}
int main()
{
scanf("%c",&u);a.num=0;
while (u!=' ')
{
a.num++;a.p[a.num]=u-48;
scanf("%c",&u);
}
b.num=0;
while (scanf("%c",&u)!=EOF)
{
b.num++;b.p[b.num]=u-48;
}
change();
kick();
make();
for (i=ans.num;i>0;i--)
printf("%ld",ans.p[i]);
return 0;
} #include
#include
using namespace std;
struct arr
{
long num,p[301];
arr() {num=1;memset(p,0,sizeof(p));} //定义一个结构体，方便调用。ORZ 任轩笛的教导
}a,b,ans,plusone;
long i,tot;
char u;
void change() //读进来是正的，处理是反的，倒一下。
{
long i,t;
for(i=1;i<=a.num/2;i++){t=a.p[i];a.p[i]=a.p[a.num-i+1];a.p[a.num-i+1]=t;}
for(i=1;i<=b.num/2;i++){t=b.p[i];b.p[i]=b.p[b.num-i+1];b.p[b.num-i+1]=t;}
}
long check(arr a,arr b) //检验a和b的大小（高精度）
{
if (a.num>b.num) return 1;
if (a.num0;i--)
{
if (a.p[i]>b.p[i]) return1;
else if (a.p[i]0;i--)
{
a.p[i]=(a.p[i]+x*10);
x=a.p[i]%2;
a.p[i]/=2;
}
if (a.p[a.num]==0) a.num--;
x=0;
for (i=b.num;i>0;i--)
{
b.p[i]=(b.p[i]+x*10);
x=b.p[i]%2;
b.p[i]/=2;
}
if (a.p[a.num]==0) a.num--;
tot++; //tot最多只有300+的
}
}
//-------------------------------------分割线--------------------------------------
arr chen(arr a,arr b) //基础的高精度乘法
{
long i,j;
arr CHEN;
for (i=1;i<=a.num;i++)
for (j=1;j<=b.num;j++)
CHEN.p[i+j-1]+=a.p[i]*b.p[j];
CHEN.num=a.num+b.num-1;
for (i=1;i<=CHEN.num;i++)
if (CHEN.p[i]>9){CHEN.p[i+1]+=CHEN.p[i]/10;CHEN.p[i]%=10;}
while (CHEN.p[CHEN.num+1]>0)
{
CHEN.num++;
CHEN.p[CHEN.num+1]+=CHEN.p[CHEN.num]/10;
CHEN.p[CHEN.num]%=10;
}
return CHEN;
}
arr add(arr a,arr b) //基础的高精度加法
{
long i,x=0;arr ADD;
ADD.num=a.num;if (b.num>ADD.num)ADD.num=b.num;
for (i=1;i<=ADD.num;i++)
{
ADD.p[i]=a.p[i]+b.p[i]+x;
x=ADD.p[i]/10;ADD.p[i]%=10;
}
while (x>0)
{
ADD.num++;
ADD.p[ADD.num]=x%10;
x=x/10;
}
return ADD;
}
arr jian(arr a,arr b) //基础的高精度减法
{
long i=1,j,k;
while (i<=b.num)
{
if (a.p[i]>=b.p[i])a.p[i]=a.p[i]-b.p[i];
else
{
j=i+1;
while (a.p[j]==0) j++;
a.p[j]--;
for (k=i+1;k1)a.num--;
return a;
}
//-------------------------------------分割线--------------------------------------
arr CHU(arr a,arr b) //高精度除法（二分）
{
arr l,r,mid,plusone;plusone.p[1]=1;longtemp=check(a,b),i,x;
l.num=a.num-b.num;r.num=l.num+1;
for (i=1;i1;i--)
{
mid.p[i]=(mid.p[i]+x*10);
x=mid.p[i]%2;
mid.p[i]/=2;
}
mid.p[1]+=x*10;if (mid.p[1]%2==1)mid.p[1]=mid.p[1]/2+1;else mid.p[1]/=2;
if (mid.p[mid.num]==0)mid.num--;
temp=check(a,chen(b,mid));
if (temp==1) l=mid;
if (temp==-1)r=jian(mid,plusone);
if (temp==0||check(l,r)==0)break;
}
if (temp==0) return mid;else returnl;
}
arr MOD(arr a,arr b) //高精度求余数
{
arr l,r,mid,mod,plusone;plusone.p[1]=1;longtemp=check(a,b),i,x;
l.num=a.num-b.num;r.num=l.num+1;
if (l.num==0) l.num++;
for (i=1;i1;i--)
{
mid.p[i]=(mid.p[i]+x*10);
x=mid.p[i]%2;
mid.p[i]/=2;
}
mid.p[1]+=x*10;if (mid.p[1]%2==1)mid.p[1]=mid.p[1]/2+1;else mid.p[1]/=2;
if (mid.p[mid.num]==0)mid.num--;
temp=check(a,chen(b,mid));
if (temp==1) l=mid;
if (temp==-1)r=jian(mid,plusone);
if (temp==0||check(l,r)==0)break;
}
if (temp==0) mod=jian(a,chen(b,mid));elsemod=jian(a,chen(b,l));
return mod;
}
arr gcd(arr a,arr b) //辗转相除法
{
arr mod=MOD(a,b);
if (mod.num==1&&mod.p[1]==0) returnb;
return gcd(b,mod);
}
void make() //主要处理场地
{
long i,j,x;
if (check(a,b)==1) ans=gcd(a,b);elseans=gcd(b,a); //求最大公因数
ans=CHU(a,ans); //本来是ans=a*b/ans，为了优化，反了一下。
ans=chen(ans,b);
for (i=1;i<=tot;i++) //乘上2的个数
{
x=0;
for (j=1;j<=ans.num;j++)
{
ans.p[j]=ans.p[j]*2+x;
x=ans.p[j]/10;
ans.p[j]%=10;
}
if (x>0)
{
ans.num++;
ans.p[ans.num]=x;
}
}
}
//-------------------------------------分割线--------------------------------------
int main()
{
scanf("%c",&u);a.num=0; //字符串读入处理操作
while (u!=' ')
{
a.num++;a.p[a.num]=u-48;
scanf("%c",&u);
}
b.num=0;
while (scanf("%c",&u)!=EOF)
{
b.num++;b.p[b.num]=u-48;
}
change();
kick();
make();
for (i=ans.num;i>0;i--) //倒着输出
printf("%ld",ans.p[i]);
return 0;
}