逆矩阵(inverse matrix)的概念及其意义

逆矩阵是经常遇到的一个概念。教科书中讲解了逆矩阵的求法,但是没有说清楚为何需要逆矩阵,逆矩阵的意义是什么。逆矩阵可以类比成数字的倒数,比如数字5的倒数是1/5,矩阵A的“倒数”是A的逆矩阵。5*(1/5)=1, A*(A的逆矩阵) = I,I是单位矩阵。引入逆矩阵的原因之一是用来实现矩阵的除法。比如有矩阵X,A,B,其中X*A = B,我们要求X矩阵的值。本能来说,我们只需要将B/A就可以得到X矩阵了。但是对于矩阵来说,不存在直接相除的概念。我们需要借助逆矩阵,间接实现矩阵的除法。具体的做法是等式两边在相同位置同时乘以矩阵A的逆矩阵,如下所示,X*A*(A的逆矩阵)= B*(A的逆矩阵)。由于A*(A的逆矩阵) = I,即单位矩阵,任何矩阵乘以单位矩阵的结果都是其本身。所以,我们可以得到X =  B*(A的逆矩阵)。


以一个具体的例子来看,链接为https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-inverse.html。假设一帮孩子和家长出去旅游,去程坐的是bus,小孩票价为3元,家长票价为3.2元;回程坐的是Train,小孩票价为3.5元,家长票价为3.6元。问题是分别求小孩和家长的人数。我们就可以用下列矩阵求之。



我们亦可以用下列矩阵求之。


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