逆矩阵(inverse matrix)的概念及其意义

逆矩阵是经常遇到的一个概念。教科书中讲解了逆矩阵的求法，但是没有说清楚为何需要逆矩阵，逆矩阵的意义是什么。逆矩阵可以类比成数字的倒数，比如数字5的倒数是1/5，矩阵A的“倒数”是A的逆矩阵。5*(1/5)=1, A*（A的逆矩阵） = I，I是单位矩阵。引入逆矩阵的原因之一是用来实现矩阵的除法。比如有矩阵X，A，B，其中X*A = B，我们要求X矩阵的值。本能来说，我们只需要将B/A就可以得到X矩阵了。但是对于矩阵来说，不存在直接相除的概念。我们需要借助逆矩阵，间接实现矩阵的除法。具体的做法是等式两边在相同位置同时乘以矩阵A的逆矩阵，如下所示，X*A*（A的逆矩阵）= B*（A的逆矩阵）。由于A*（A的逆矩阵） = I，即单位矩阵，任何矩阵乘以单位矩阵的结果都是其本身。所以，我们可以得到X =  B*（A的逆矩阵）。

以一个具体的例子来看，链接为https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-inverse.html。假设一帮孩子和家长出去旅游，去程坐的是bus，小孩票价为3元，家长票价为3.2元；回程坐的是Train，小孩票价为3.5元，家长票价为3.6元。问题是分别求小孩和家长的人数。我们就可以用下列矩阵求之。

我们亦可以用下列矩阵求之。