网络流--最小费用最大流 （理解）

1、什么是最小费用最大流问题

　　上篇文章我们讲解了最大流问题，那什么是最小费用最大流呢？听名字就可以看出，我们要在满足最大流的同时找到达成最大流的最小费用。

对于一个网络流，最大流是一定的，但是组成最大流的费用是可以不同的，这里就有了在最大流网络上产生的费用流网络，就有了最小花费问题。

　　简单来说，就是满足最大流的路径可能有多条，我们要从这多条路径中找到一条花费代价最小的路径。所以最大流是解决这类问题的前提

 

2、EK算法 + SPFA 最短路

　　  我们用每条边单位流量的花费作为边权，假如一条合法路径上每条边的花费分别为 c1,c2,.......ck ， 并且这条边上的最小流量为flow，

　　那么这条路径上的花费为 ： c1 * flow + c2*flow + ..... + ck*flow = （c1+ c2 + c3 + .... + ck）*flow =  dis [ci] * flow

　　这里的 dis[ci] 就是我们要求的最短路！

 

3、算法思想 

　　采用贪心的思想，每次找到一条从源点到达汇点的路径，增加流量，且该条路径满足使得增加的流量的花费最小，直到无法找到一条 从源点到达汇点的路径，算法结束。

由于最大流量有限，每执行一次循环流量都会增加，因此该算法肯定会结束，且同时流量也必定会达到网络的最大流量；同时由于每次都是增加的最小的花　费，即当前的最小花费是所有到达当前流量flow时的花费最小值，因此最后的总花费最小。

 

4、求解步骤

　　1、找到一条从源点到达汇点的花费最小的路径，该花费 = 使用该路径上的边的单位费用之和。
　　2、然后找出这条路径上的边的容量的最小值f，则当前最大流 max_flow 扩充f（求最大流的过程），同时当前最小费用 min_cost 扩充 f*min_dist(s,t)。
　　3、更新路径流量 flow[][] ，将这条路径上的每条正向边的容量都减少f，每条反向边的容量都增加f。
　　4、重复（1~3）直到无法找到从源点到达汇点的路径。

 

5、需要注意几点

　　1、注意超级源点和超级终点的建立。这里的超级源点/汇点的建立是把所有边统一起来，构成一张网络图，因为有些题目不会直接给你网络图，

　　需要你自己去建立，例如 hdu 1533

　　2、初始化时，正向边的单位流量费用为cost[u][v]，那么反向边的单位流量费用就为 -cost[u][v]。正向边和反向边的费用互为相反数，因为回流费用减少。
　　3、费用cost数组和容量cap数组每次都要初始化为0。
　　4、求解从源点到汇点的“最短”路径时，由于网络中存在负权边，因此使用SPFA来实现。

 

6、代码

　　

int cap[500][500],cost[500][500],flow[500][500];//cap是容量，cost是花费，flow是流量
int pre[500],dis[500],vis[500],cnt[500];//pre是记录增广路的前驱节点，dis[i]是记录源点到节点i的最小距离
//vis[i]标记点是否在队列中，cnt[i]记录点i进入队列的次数

int n,m;
int st,endd;
int mn_cost,mx_flow;
int spfa()
{
    for(int i=0;i)
        dis[i]=mx;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    
    queue<int>p;
    p.push(st);//st是起点
    vis[st]=1;
    cnt[st]=1;
    dis[st]=0;
    while(!p.empty())
    {
        int now=p.front();
        p.pop();
        vis[now]=0;
        for(int i=0;i)
        {
            if(cap[now][i]>flow[now][i]&&dis[i]>dis[now]+cost[now][i])//这里将费用看成是长度，求源点到汇点的最小距离
            {
                dis[i]=dis[now]+cost[now][i];
                pre[i]=now;
                if(vis[i]==0)
                {
                    p.push(i);
                    vis[i]=1;
                    cnt[i]++;
                    if(cnt[i]>n)
                        return 0;
                }
            }
        }
    }
    if(dis[endd]>=mx)
        return 0;
    return 1;
}
void bfs(int n)//顶点数
{
    memset(flow,0,sizeof(flow));
    mx_flow=0;
    mn_cost=0;
    while(spfa())
    {
        int f=mx;
        for(int i=endd;i!=st;i=pre[i])
            f=min(f,cap[pre[i]][i]-flow[pre[i]][i]);

        for(int i=endd;i!=st;i=pre[i])
        {
            flow[pre[i]][i]+=f;
            flow[i][pre[i]]-=f;
        }
        mn_cost+=dis[endd]*f;        
　　　　　mx_flow+=f;

    }
}

 

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