离散数学 欧拉图与哈密顿知识总结

离散数学

— 2018.12.27 离散复习

欧拉图（欧拉回路）

定义：

欧拉回路（欧拉图）：通过图中所有边一次且仅一次行边所有定点的回路叫欧拉回路
欧拉通路（半欧拉图）：通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路

相关定理

1.无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图且没有奇度顶点
2.无向图G为半欧拉图当且仅当G是联通的且恰有两个奇度顶点

3.有向图D是欧拉图当且仅当D是强联通的且每个顶点的入度等于出度。
4.有向图是半欧拉图当且仅当D是单向联通的且恰有两个奇度顶点其中一个奇度顶点入度比出度大一，另一个入度比出度大一
*5.G是非平凡欧拉图当且仅当G是联通的且是若干个边不重的圈的并

Fleury算法（构建欧拉回路）

1任取图中一点
2取一该点相连的边（除非无别的边选择否则不能选G-{已走点}所构成的图上的桥（去掉该边是图不连通，剩下一个孤立点和一个联通分量的叫桥））

哈密顿图

定义

哈密顿图：经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称作哈密顿回路，具有哈密顿回路的图叫哈密顿图
半哈密顿图：经过图中所有顶点一次且仅一次的通路称作哈密顿通路，具有哈密顿通路的图叫半哈密顿图
*平凡图是哈密顿图

相关定理

（暂无哈密顿图的充要条件）
#哈密顿图的必要条件（判断图不是哈密顿图）

哈密顿图
$$p(G-V1)<=|V1|$$
p(G-V1)为G中删除V1后的所得图的联通分支数目
若图为哈密顿图则其满足上式，
若图不满足上式则图不为哈密顿图，但无法由图满足上式推出其为哈密顿图，例如彼得松图满足上式但不是哈密顿图（彼得松图为十阶-3-正则图）
*推论
有割点的图一定不是哈密顿图

半哈密顿图：
$$p(G-V1)<=|V1|+1$$
对于二部图（将点分为两部分的图），若v1,v2相差大于一则其什么也不是，若相差一则为哈密顿通路，相等则为回路，自己画图就可以明白为什么。
#哈密顿图的充分条件（判断图是哈密顿图）

①通过观察找出一条哈密顿回路
②通过公式判断
$$d(u)+d(v)>=n$$
d,v不相邻，d(u),d(v)分别为顶点d和顶点v的度数，n为图的阶（顶点个数）
若满足上式则此图为哈密顿图

推论：
设G是n(n>=3)阶无向简单图，若G的最小度>=n/2,则G是哈密顿图。
由推论知，对于完全图Kn,当n>=3时，是哈密顿图，完全二部图Kr,s当r==s>=2时是哈密顿图。

半哈密顿图

G为阶大于3的无向简单图，不相邻的u,v属于G–

$$d(u)+d(v)>=n-1$$
若满足上式则此图为半哈密顿图

相关定理：
*设u，v为n阶无向简单图G中两个不相邻的顶点，且d(u)+d(v)>=n，则G为哈密顿图当且仅当G∪（u,v）为哈密顿图（u，v）为新加的图
*n阶竞赛图中都有哈密顿通路（设D为n阶有向简单图，若D的基图为n阶无向完全图，则D为n阶竞赛图：每个顶点都与其余n-1个顶点相连就叫n阶完全图）