【二叉树】满k叉树的编号问题

背景

一棵高为$h$的满$k$叉树具有如下性质：根节点所在层次为$0$；第$h$层上的结点都是叶子结点；其余各层上每个结点都有$k$棵非空子树。现在按照层次自顶向下，同一层自左向右，顺序从$1$开始对全部结点进行编号。

问题

首先得到一些常规的结论，方便后面使用：第$l$层有$k^l$个结点；前$l$层有$\sum _{i=0}^l{k}^l=\frac{k^{l+1}-1}{k-1}$个结点。

现在设一结点编号为$i$，试推导：
（1）第$m$个孩子的编号；
（2）双亲结点的编号。

不妨假设该结点在第$l$层$(m>0)$，则前$l-1$层有$N_{l-1}$个结点。因此第$l$层中，在结点$i$左边的结点数为$a=i-N_{l-1}-1$个。

因此从结点$i$到结点$i$的第一个孩子，需要经过$ak$个结点$i$兄弟的孩子。可知第$m$个孩子的编号$$i(m)=N_l+ak+m=(i-1)k+m+1,$$其中$N_l$是前$l$层的结点总数。

要求双亲结点的编号，理论上反解上面的表达式即可。涉及到除法，可以这样考虑。设$n$为结点$i_p$的子女，则$(i_p-1)k+2\le n\le i_{p}k+1.$ 因此对于结点$i$我们可以得到其双亲结点编号$$i_p=\lfloor \frac{i-2}{k}\rfloor +1.$$