2020 年百度之星·程序设计大赛 - 测试赛 度度熊保护村庄 计算几何（叉积）+floyd(最小环)

2020 年百度之星·程序设计大赛 - 测试赛 度度熊保护村庄 计算几何（叉积）+floyd(最小环)

Problem Description

哗啦啦村袭击了喵哈哈村！

度度熊为了拯救喵哈哈村，带着自己的伙伴去救援喵哈哈村去了！度度熊与伙伴们很快的就过来占据了喵哈哈村的各个军事要地，牢牢的守住了喵哈哈村。

但是度度熊发现，这是一场旷日持久的战斗，所以度度熊决定要以逸待劳，保存尽量多的体力，去迎战哗啦啦村的战士。

于是度度熊决定派尽量多的人去休息，但是同时也不能松懈对喵哈哈村的保护。

换句话而言，度度熊希望尽量多的人休息，而且存在一个包围圈由剩下的人组成，且能够恰好的包围住喵哈哈村的所有住房（包括边界）。

请问最多能让多少个人休息呢？

Input

本题包含若干组测试数据。

第一行一个整数n，表示喵哈哈村的住房数量。

接下来n行，每行两个整数(x1[i],y1[i])，表示喵哈哈村的住房坐标。

第n+1行一个整数m，表示度度熊的士兵数量。

接下来m行，每行两个整数(x2[i],y2[i])，表示度度熊伙伴的坐标。

满足:

1<=n,m<=500

-10000<=x1[i],x2[i],y1[i],y2[i]<=10000

Output

请输出最多的人员休息的数目。

如果无法保护整个村庄的话，输出"ToT"

Sample Input

2
1 1
2 2
4
0 0
0 4
4 2
4 0
1
1 1
2
0 0
0 1

Sample Output

1
ToT

Solution

看完题目后，第一个反应就是这题要求凸包，以前也遇到过求凸包的题目，感觉好难呀，顿时有点难受。毕竟自己计算几何的基本功不太扎实，留下了不学无术的泪水。

真正的解法，其实并没有印象中计算几何的题目那么难。需要用到的知识：叉积+最小环。为什么这么说呢？首先要知道，叉积可以用来验证所有点是否在线段的同一边，如果所有点都在同一边，叉积要么同时非负，要么同时非正。我们可以结合以下多边形图片看看。

如上图所示的多边形，如果我们判定点O是否在多边形内 ，我们可以沿着顺时针方向看， 顶点A和B组成的边AB可看作是一条向量，A指向B ，同理顶点A和O组成的边AO可看作是一条向量，A指向O。根据右手法则，向量AO与向量AB的叉积为正。根据右手法则，向量BO与向量BC的叉积也为正。… … 可以证明，如果按顺逆时针方向，多边形上任意点（假设为点X），与点O相连形成的向量XO，以及点X与“点X在顺逆时针方向多边形上的下一个点“（假设为点Y）形成的向量XY，那么XO与XY的叉积永远为正。 这里可参考博客 https://blog.csdn.net/ezhchai/article/details/78841336

根据右手法则，我们可以知道，AD与AB的叉积为负，AO与AB的叉积为正，由于正负性不同，所以我们知道点O与点D分别在AB的不同侧。 这就是判断点与多边形关系的一个直接思路：多边形可看做从某点出发的闭合回路，内部的点永远在回路的同一边。

在了解了叉积判断点是否在线段的同一侧的原理后，我们有一个想法：一切可能构成包住所有房子的回路的边都连起来。我们枚举所有伙伴的坐标连接的线段，利用叉积判断是不是所有的住房都在线段的同一侧，如果是，则可以把这两个伙伴坐标点连起来（连接的边的权值为1，权值为0表示两点直接没有边连接）。

在连接完符合要求的边之后，我们可以用floyd算法求最小环。这里可参考博客 https://oi-wiki.org/graph/min-circle/ 。

经过建边和求最小环的操作之后，若有解，答案就是m-最小环的长度。时间复杂度为O(m^3)。

Code

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int N=520;
int n,m,ans=-1;
int Connect[N][N];

struct Point
{
    int x,y;
    Point() {}
    Point(int _x,int _y):x(_x),y(_y) {}

    Point operator - (const Point &p)const //重载向量减法
    {
        return Point(x-p.x,y-p.y);
    }
} bear[N],house[N];

int CrossProduct(Point A,Point B) //求向量A,B的叉积，即A x B
{
    return (A.x*B.y)-(B.x*A.y);
}

int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        //初始化操作
        ans=-1;
        memset(Connect,0,sizeof(Connect));

        for(int i=0; i<n; i++) //输入住房坐标
        {
            scanf("%d%d",&house[i].x,&house[i].y);
        }

        scanf("%d",&m);
        for(int i=0; i<m; i++) //输入伙伴的坐标
        {
            scanf("%d%d",&bear[i].x,&bear[i].y);
        }

        for(int i=0; i<m; i++)  //建边操作
        {
            for(int j=0; j<m; j++)
            {
                if(i==j)continue;
                bool CanConnect=true;
                for(int k=0; k<n; k++)
                {
                    if(CrossProduct(house[k]-bear[i],bear[j]-bear[i])<0)//计算叉积能够判断所有house是否全部在bear[i]、bear[j]两点连线的一侧
                    {
                        CanConnect=false;
                        break;
                    }
                }
                if(CanConnect==true) //若所有house是否全部在bear[i]、bear[j]两点连线的一侧，则可以连接bear[i]和bear[j]
                    Connect[i][j]=1;
            }
        }
        
        //完成以上的建边操作之后，就方便求最小环了
        
        for(int k=0; k<m; k++) //floyd算法求最小环
        {
            for(int i=0; i<m; i++)
            {
                if(Connect[i][k]==0)continue;
                for(int j=0; j<m; j++)
                {
                    if(Connect[k][j]==0)continue;
                    if(Connect[i][j]==0||Connect[i][k]+Connect[k][j]<Connect[i][j])
                        Connect[i][j]=Connect[i][k]+Connect[k][j];
                }
            }
        }

        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            if(Connect[i][i]==0)continue;
            if(ans==-1||Connect[i][i]<ans)
                ans=Connect[i][i];
        }

        if(ans==-1)puts("ToT");
        else printf("%d\n",m-ans);

    }
}