「GXOI / GZOI 2019」逼死强迫症

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题目描述

ITX351 要铺一条 $2\times N$的路，为此他购买了 N块 $2\times 1$的方砖。可是其中一块砖在运送的过程中从中间裂开了，变成了两块 $1\times 1$的砖块！
ITX351 由此产生了一个邪恶的想法：他想要在这条路上故意把两块 $1\times 1$的砖块分开铺，不让两块砖有相邻的边，其他砖块可以随意铺，直到整条路铺满。这样一定可以逼死自身强迫症 sea5！

也许下面的剧情你已经猜到了——他为此兴奋不已，以至于无法敲键盘。于是，他请你帮忙计算一下，有多少种方案可以让自己的阴谋得逞。

输入格式

每个测试点包含多组数据，输入文件的第一行是一个正整数 T，表示数据的组数。注意各组数据之间是独立无关的。

接下来 T 行，每行包含一个正整数 N，代表一组数据中路的长度。

输出格式

输出应包含 T行，对于每组数据，输出一个正整数，表示满足条件的方案数。

由于答案可能非常的大，你只需要输出答案对 1000000007 ($10^9$ + 7) 取模后的结果。
                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     
                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     
                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     

简洁题意

多组数据$(T\le 500)$，用 $2\times 1$ 的方砖铺路，其中一块断裂成 $2$ 块 $1\times 1$ 的正方形方砖，求满$2\times N(N\le 2\times 10^9)$的道路 且 $2$ 块正方形方砖不相邻的方案数。
                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     
                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     

解题报告

一、观察下列方块

假如我往左边偏，另一块$1\times 1$ 只能在左边，故此我们得出一条重要性质：

两块$1\times 1$ 的正方形方砖一定是对角的，且形成一个完整的“含方块整体”，且这种整体对于每一长度只有2种。

                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     
                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     

二、考虑旁边

旁边的显然就是没有$1\times 1$方块的普通铺路法

那么，令 $f(i)$ 表示 铺 规模为$2\times i$ 的路的方案数

那么有

                                    \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \\ \\ \ \\ \ \ \ }                              $f(i)=f(i-1)+f(i-2)$

$f(i-1)$铺上一个竖块，$f(i-2)$ 铺上 $2$ 个横块

其中$f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2$

嗯，斐波那契

                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     
                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     
                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     

三、转移

接下来似乎很难转移

因为这种“含方块整体”的长度不定，且左右两边长度不定

考虑终极目的

                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                      $Ans(i)$表示 按要求填满 $2\times N$道路的方案数

拆成几种好计算的，能覆盖所有情况的
一般就是分为有和没有
有的人是最后一列是否有方块格
跟我最后一列是否有“含方块整体”差不多
都是为了利用到斐波那契的前缀和

那么有

$g[i][0]$表示 在满足“含方块整体”不在最后一列时 填满 $2\times N$道路的方案数

$g[i][1]$表示 在满足“含方块整体”在最后一列时 填满 $2\times N$道路的方案数

                                  \text{ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                                显然有 $Ans(i)=g[i][0]+g[i][1]$

                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     

考虑转移：

$g[i][0]=Ans(i-1)+Ans(i-2)$

$g[i][1]=2\times {\sum }_{j=0}^{i-3}f(j)$

枚举普通铺法的规模 $0$ ~ $i-3$ (下图黄色部分) ;

其中$\times 2$的原因是 各长度"含方块整体”有2种

                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     
                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     
                         \text{ \ \ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ }                     

$h(x)$表示斐波那契数列前 $x$ 项前缀和，那么有 $h(x)={\sum }_{j=0}^{x-1}f(j)=f(x+2)-1$

注意到我这里的斐波那契虽然是从下标0开始的，但是性质是不变的 ; 后者是斐波那契的性质，读者请自行查询

$g[i][1]=2\times h(i-3)=2\times [f(i-1)-1]$

       \text{ \ \ \ \ \ }        得到 $Ans(i)=Ans(i-1)+Ans(i-2)+2\times f(i-1)-2$

题目做到这里，可以打一个50分暴力，$O(nT)$

               \text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }               
               \text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }               

四、矩阵乘法优化

$⎡1120-2⎢⎡Ans(i-1)⎢⎡Ans(i)⎢$
$⎢10000⎢⎢Ans(i-2)⎢⎢Ans(i-1)⎢$
$⎢00110⎢\times ⎢f(i-1)⎢=⎢f(i)⎢$
$⎢00100⎢⎢f(i-2)⎢⎢f(i-1)⎢$
$⎡00001⎢⎣1⎦⎢1⎦$.

目标矩阵的$ma[i][j]$一般认为 由左边的矩阵第$i$行与右边矩阵第$j$列对应相乘 再相加

矩阵快速幂 时间复杂度 $O(5^{3}T\log n)$

初始矩阵(可以不一样):

$⎡Ans(1)=0⎢$
$⎢Ans(0)=0⎢$
$⎢f(1)=1⎢$
$⎢f(0)=1⎢$
$⎣1⎦$          \text{ \ \ \ \ \ \ \ }         

任一矩阵同 对角线为1，其余为0的矩阵 相乘等于自己

感性理解：$ma[i][j]$只能由原来的那一行 乘上一个除了第$j$个之外都为0的列

$⎡10000⎢$
$⎢01000⎢$
$⎢00100⎢$
$⎢00010⎢$
$⎡00001⎢$.

五、上代码：

#include
#include
#define LL long long
const LL mod=1e9+7;
struct mat{
	LL a[10][10];
	mat(LL t=0){ 
		memset(a,0,sizeof(a)); 
		a[1][1]=a[2][2]=a[3][3]=a[4][4]=a[5][5]=t; 
	}
	mat operator * (const mat &B){
		mat C;
		for(int i=1;i<=5;i++)
		for(int j=1;j<=5;j++)
		for(int k=1;k<=5;k++)
			C.a[i][j]=(C.a[i][j]+a[i][k]*B.a[k][j]+mod)%mod;
		return C;
	}
}ma,st(0);
void init()
{
	st.a[1][1]=st.a[2][1]=0; st.a[3][1]=st.a[4][1]=st.a[5][1]=1;
	ma.a[1][1]=1  ,ma.a[1][2]=1  ,ma.a[1][3]=2  ,ma.a[1][4]=0  ,ma.a[1][5]=-2;
	ma.a[2][1]=1  ,ma.a[2][2]=0  ,ma.a[2][3]=0  ,ma.a[2][4]=0  ,ma.a[2][5]=0;
	ma.a[3][1]=0  ,ma.a[3][2]=0  ,ma.a[3][3]=1  ,ma.a[3][4]=1  ,ma.a[3][5]=0;
	ma.a[4][1]=0  ,ma.a[4][2]=0  ,ma.a[4][3]=1  ,ma.a[4][4]=0  ,ma.a[4][5]=0;
	ma.a[5][1]=0  ,ma.a[5][2]=0  ,ma.a[5][3]=0  ,ma.a[5][4]=0  ,ma.a[5][5]=1;
/*	1 1 2 0 -2
	1 0 0 0 0
	0 0 1 1 0 
	0 0 1 0 0
	0 0 0 0 1*/
}
void ksm(LL p)
{
	mat b=ma,ans(1);
	while(p>0){
		if(p%2==1) ans=ans*b;
		b=b*b;p>>=1;
	}/*
	for(int i=1;i<=5;i++,printf("\n"))
		for(int j=1;j<=5;j++) printf("%lld ",ans.a[i][j]);*/
	ans=ans*st;
	printf("%lld\n",ans.a[1][1]);
}
int main() 
{
	int T;LL n;init();
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld",&n); 
		ksm(n-1);
	}
	return 0;
}