洛谷 P1063 区间dp

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1063

题目描述

在MarsMarsMars星球上，每个MarsMarsMars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有NNN颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是MarsMarsMars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为mmm，尾标记为rrr，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为nnn，则聚合后释放的能量为m×r×nm \times r \times nm×r×n（MarsMarsMars单位），新产生的珠子的头标记为mmm，尾标记为nnn。

需要时，MarsMarsMars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4N=4N=4，444颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(jjj⊕kkk)表示第j,kj,kj,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第444、111两颗珠子聚合后释放的能量为：

(444⊕111)=10×2×3=60=10 \times 2 \times 3=60=10×2×3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

((444⊕111)⊕222)⊕333）=10×2×3+10×3×5+10×5×10=71010 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=71010×2×3+10×3×5+10×5×10=710。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行是一个正整数N(4≤N≤100)N(4≤N≤100)N(4≤N≤100)，表示项链上珠子的个数。第二行是NNN个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过100010001000。第iii个数为第iii颗珠子的头标记(1≤i≤N)(1≤i≤N)(1≤i≤N)，当i

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

 

输出格式：

 

一个正整数E(E≤2.1×(10)9)E(E≤2.1 \times (10)^9)E(E≤2.1×(10)9)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4
2 3 5 10

输出样例#1： 复制

710

说明

NOIP 2006 提高组 第一题

思路：看完题目直接想到了区间dp。我们用dp[i][j]表示合并[i， j]的珠子所能释放的最大能量。(此时留下了第i个珠子)因为可以从任意一个位置开始，因此我们先拆环为链，即把长度为n的环拆成长度为2*n-1的链，但是因为这道题在只剩下两个珠子i和j的时候，释放的能量是a[i]*a[j]*a[i]，因此我们完全可以把长度为n的环拆成2*n的链方便进行操作。区间dp还是挺道路的，外层枚举区间长度len从2到n，(len-1表示区间长度)第二层枚举左区间端点i， 满足i+len-1<=2*n-1，(下标从0开始)， 那么我们可以得到区间右端点j=i+len-1，第三层枚举断点k，i<=k表示合并区间[i，k]和区间[k+1，j]后再合并第i个珠子和第k+1个珠子， 由此我们可以得到转移方程：dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1])。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

int dp[205][205];
int a[105];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i