自然数拆分

【问题描述】自然数的拆分：任何一个大于1的自然数N，
总可以拆分成若干个自然数之和，并且有多种拆分方法。试求 n的所有拆分。
例如自然数5，可以有如下一些拆分方法：
5=1+1+1+1+1
5=1+1+1+2
5=1+2+2
5=1+4
5=2+3

注意，本题中N拆分出来的数x的范围是1<=x

整数划分可以参考：

http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html

http://blog.csdn.net/sunquana/article/details/9245443

 

算法一  用回溯法来实现

针对所给问题，定义问题的解空间；如本题对5的拆分来说，1<=拆分的数<5。

确定用于搜索的解空间结构；如本题对5的拆分来说，用x[ ]数组来存储解，每个数组元素的取值范围都是1<=拆分的数<=5，从1开始搜索直到5。 

搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

如本题对5的拆分来说，为了避免重复，x[i] >= x[j]  ( i > j )，如x[]={2,3}满足条件而x[]={3,2}就不满足条件不是可行解即无效。

 1 #include
 2 #include
 3 
 4 void splitN(int n,int m);// n是需要拆分的数，m是拆分的进度。
 5 int x[1024]={0},total=0 ;// total用于计数拆分的方法数，x[]用于存储解
 6 void main()
 7 {
 8     int n ;
 9     printf("please input the natural number n:");
10     scanf("%d",&n);
11     splitN(n,1);
12     printf("There are %d ways to split natural number %d. ",total,n);
13 }
14 
15 void splitN(int n,int m)
16 {//n是需要拆分的数，m是拆分的进度
17     int rest,i,j;
18     for(i=1;i<=n;i++)
19     {//从1开始尝试拆分
20         if(i>=x[m-1])
21         {//拆分的数大于或等于前一个从而保证不重复
22             x[m]=i ;// 将这个数计入结果中
23             rest=n-i ;// 剩下的数是n-i，如果已经没有剩下的了，并且进度(总的拆分个数)大于1，说明已经得到一个结果了
24             if(rest==0&&m>1)
25             {
26                 total++;
27                 printf("%d\t",total);
28                 for(j=1;j 
  
 
  
 
 
  
 
 
  
算法二  用递归来实现
 
  
用不完全归纳法
 n =2 可拆分成 2 =1 +1
 n =3 可拆分成 3 =1 +2 =1 +1 +1
 n =4 可拆分成 4 =1 +3 =1 +1 +2 =1 +1 +1 +1 =2 +2
 ……
 n =7 可拆分成 7=1 +6 
 =1 +1 +5 
 =1 +1 +1 +4 
 =1 +1 +1 +1 +3
 =1 +1 +1 +1 +1 +2
 =1 +1 +1 +1 +1 
 =1 +1 +1 +2 +2 
 =1 +1 +2 +3 
 =1 +2 +4 
 =1 +2 +2 +2 
 =1 +3 +3 

 =2 +5 
 =2 +2 +3 

 =3 +4
 
  
用数组 a 存储完成 n 的一种拆分。从上面不完全归纳法的分析 n =7 时，
 按 a［1］分类，有a［1］=1，a［1］= 2，…，a［1］= n/2，共 n/2 大类拆分。
 在每一类拆分时，a［1］= i ，a［2］= n - i ，从 k=2，从 a［k］开始继续拆分，
 a［k］能否再拆分取决于 a［k］/2 是否大于等于 a［k-1］。
 递归过程的参数 t 指向要拆分的数 a［k］
 
  
 
  
 
  
 1 #include 
 2 #include 
 3 
 4 int a[100]={0};
 5 void Split(int t)
 6 {
 7     int i,j,L;
 8     for(i = 1; i  
  
 
  
 
 
  
参考：http://wenku.baidu.com/link?url=H7tDqvEmnds9SN4FfuwMw8M6AfAMUl44-vCR83Z4LKv9UN-HAU159GJtFR5M48t11XBJFMwP3i4qPk6u2WHEORZDeYhraBQt63zvaDUNSAi
 
  
/*
Problem 36: 自然数拆分
Description
输入自然数n，然后将其拆分成由若干数相加的形式，参与加法运算的数可以重复。
Input
输入只有一个整数n，表示待拆分的自然数n。 n<=80
Output
输出一个数，即所有方案数
Sample Input
7
Sample Output
14
Hint
解释：
输入7，则7拆分的结果是
7=1+6
7=1+1+5
7=1+1+1+4
7=1+1+1+1+3
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1
7=1+1+1+2+2
7=1+1+2+3
7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+3+3
7=2+5
7=2+2+3
7=3+4
一共有14种情况，所以输出14
*/
//整数划分的思想，因为本题自己不算一种划分，所以dp[n][n]-1 
#include
#define MAX 85
using namespace std;
int dp[MAX][MAX];
int main(){
	int n; cin>>n;
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i>=j){
				dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
			}
			else dp[i][j]=dp[i][i];
		}
	}
	cout<