最小生成树基础算法模板
终于写完了神奇的深度搜素。。。现在又要开始看一些和树有关的问题了
其它的生成树都还没学，就先写写已经学过的最小生成树好了。。。QwQ 。。。其实我也不确定自己的写法对不对，就只是一些自己的理解，反正用到现在好似没什么大问题吧QwQ
首先，最小生成树的定义，是指在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树
所以最小生成树，通常会用来做一些找最小价格，找最优路径的问题。我们通常用两个算法可以用来写最小生成树问题，分别是Kruskal算法和Prim算法，接下来我们会对两种算法都进行介绍，并且在例题中实际使用它。
1. 两个算法的区别
主要的区别实在时间复杂度上，Prim算法的复杂度为O(n^2)，而Kruskal算法的复杂度为O(mlogn)。
从表面上看起来，好似Kruskal的复杂度更低，毕竟它有一个log嘛，从外形上来讲就比平方好看的多，那我们直接学Kruskal不就好了，学Prim干嘛呢？但实际上，在许多为题中，给出的m的数值会非常大，在最坏情况的稠密图中，m的数值可以达到n * (n - 1)，这个时候，mlogn的复杂度就不见得比n^2优秀了。所以，一般 情况，在题目给出的图为稀疏图时，我们选用Kruskal，而稠密图时，我们则选择Prim。
2. Kruskal算法
<1> 算法思路
Kruskal算法是一个由快速排序和并查集两种基础算法组合实现的。首先，用结构体记录每条边的连接点和长度，按照长度从小到大进行排序后开始查找，如果这条边连接的两点没有在一个集合中，则在总长度上加上这条边的长度，最终的长度也就是可以把所有点相连的路的最小长度。
这个算法的思路非常简单，也很容易看出时间复杂度，利用并查集(并查集的复杂度是O(1)的)搜素m次边，复杂度为O(m)，然后排序其实有很多种选择，但我相信追求完美的孩子一定会选择快排吧，嘿嘿嘿，所以在乘上快排的时间复杂度O(logn)，就可以算出整个krulskal算法的复杂度就是O(mlongn)
<2>核心算法模板
int n, m, f[100010];
// 结构体，用于记录边
// a, b为边连接的两个点，len为边的长度
struct edge
{
int a, b, len;
}edges[10010];
// 按照边权值从小到大排序
bool cmp(edge x, edge y)
{
return x.len < y.len
}
// 并查集的初始化
void init()
{
for(int i = 0; i <= n; i ++) f[i] = i;
}
// 并查集的核心算法。。。就不多说了
int found(int x)
{
if(f[x] != x) f[x] = found(f[x]);
return f[x];
}
// 检查两点是否已经相连
bool unite(int a, int b)
{
int x = found(a);
int y = found(b);
if(x != y)
{
f[y] = x;
return true;
}
return false;
}
// krulkal算法
int krulkal()
{
sort(edges, edges + n);
init();
int res = 0;
for(int i = 0; i < m; i ++)
{
if(unite(edges[i].a, edges[i].b))
{
res += edges[i].len;
}
}
return res;
}
<3> 来到题目体验一下鸭
给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
数据范围
1≤n≤1051≤n≤105,
1≤m≤2∗1051≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过1000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
原题链接：Kruskal算法求最小生成树
AC代码
#include3.Prim算法
<1> 算法思路
其实Prim算法的思路和最短路的Dijkstra算法蛮像的，不同点是每次更新的不是某个点到另一个点的最短距离，而是更新已经成为一个集合的所有点到剩下的点的最短距离（也就是说集合到点的最短距离）。
所以有好好理解Dijkstra算法的小可爱一定可以很轻松的康懂Prim吧，我就不多解释咯。
<2> 核心算法模板
int dist[100010], g[110][110];
bool st[100010];
int n, m;
int prim()
{
int res = 0;
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
memset(st, false, sizeof st);
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
int t = -1;
for(int j = 1; j <= n; j ++)
{
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j;
}
if(i && t == -1) return -1;
else if(i) res += dist[t];
st[t] = true;
for(int j = 1; j <= n; j ++)
{
dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
}
return res;
}<3> 来到题目体验一下鸭
给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
数据范围
1≤n≤5001≤n≤500,
1≤m≤1051≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过10000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
原题链接：Prim算法求最小生成树
AC代码
#include好啦~到这里就结束啦，嘿嘿。
相信有好好理解最短路的小可爱萌学起来应该还是不难的，毕竟思路有很多相像的地方，不过要熟练掌控还是得多刷题鸭~
然后嘛。。。如果还没学最短路的小可爱，可以点点下面的链接参考一下QwQ
最短路基础算法模板大全~~
希望有帮助吧，嘻嘻(笔芯.jpg)