设计(26) 《PASCAL定理》软件设计

设计(26) 《PASCAL定理》软件设计

帕斯卡定理

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及其对400多个特例的验证

0. 这是VOPT软件封面, 但出现仅仅一瞬间即自动消去

0.以上是封面消失后见到屏幕式菜单，其作用和顶部菜单条菜单一样，但加了功能注释，在注释后加“ ....”的表示点击后都有popup（下拉）菜单弹出。

 

0b  上图就是点击屏幕上的 C:六边形菜单后弹出的一个下拉菜单。

1. 以上是概述, 介绍Pascal定理和本软件（Pascal定理验证软件）的功能。定理的证明请参考Lehmer书第4章第60-70节, 或点击菜单定理|射影几何综合法证明，

这是综合法证明，解析法证明亦可点击 定理|解析射影几何法证明 ，或见本网页最下面（图14-2）

2. 以上介绍PASCAL定理所涉及的各种圆锥曲线，包括退化的与不退化的圆锥曲线在内共五种。五种曲线上均已选好6点，将用作六边形的顶点。.

【注】 在圆锥曲线上选点可以任意，不影响定理的有效性，我在后面也能让读者自选顶点，但自选顶点通常都使图形质量变差（不对称）。

3-0. 以上画面由点击6边形下拉菜单第1项得到，介绍多边形的一般概念，以及与PASCAL定理相关的六边形或多边形的一些例子，如图6图7图8。
【注】为了方便，下面把图7图8类似图形也称六点或六边形，即把k-重点算作k个点，把k-重切线看成k条边。

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3-1. 以上详细介绍神秘的PASCAL六边形或多边形以及它们的命名法（编码法），如123456,123465,135246，等等

3-2. 以上是由6个数字1...6形成的720种排列（字典顺序），每一种排列首尾相接就可形成一个PASCAL六边形，但其中大量是等价的

3-3. 以上是60种不等价的PASCAL六边形，它们都由1,2,3,4,5,6相同的六点组成，但排序不同：从123456直到154326 。

        这里值得注意，这60个六边形并非由上720个排列中的最前面的60个排列所形成，必须通过1-1检测才能得到它们，例如，720个排列中第36个为134652，第18个排列为125643，它们只是顺时针与逆时针之间的差别，作为回路实际是等价的，故二者之中只能选择一个。

        知道了PASCAL六边形的实际意义后，你也可以这样来产生60个PASCAL六边形：从第1点开始，分别连到其余5点，这有5种选择，以它们为第一边；接下去从剩下的4个点中选择一点，构成第2边，这又有4种可能的选择，....，这样下去，当选择了5条边后就把所有点选完，最后把最后点与第一点连起来构成封闭回路，就成了hexagon了，所以一共有5*4*3*2*1=60种不同选择，即有60个不同的hexagon。

3-4a. 以上是把上面60个图的前30个进行放大显示。

【注意】任意多边形通常是以它们顶点的名称来命名，如以A,B,C三点为顶点的三边形就叫ABC三边形（或ABC三角形）。但点的读出必须依次进行，至于哪一个为首，以及顺时针还是逆时针，都可随便。这种约定使每个N边多边形有2N种叫法。例如三边形ABC有2x3=6种读法，你可叫它ABC，也可叫它CAB, BCA, ...等；上面图中的每个6边形有2x6=12种叫法，如第一个图：123456，可以叫123456，但也可叫234561, 345612, 456123, 561234, 612345，或将6点逆时针地读出来，即称作543216, 432165, 321654, 216543, 165432。这12个顺序的叫法都有权代表图1-123456这个六边形。具有相同顶点的多边形所谓不同，就是它们的顶点的排列次序不同，如图2-123465与图1-123456不同，这二者的差别不是顺逆次序不同或起始点不同。

3-4b. 以上是把上面60个图的后30个进行放大显示

3-5. 以上考察6个字的193种不同的分划方式（等价类），并从中找出可以形成PASCAL六边形的8个类，包括退化六边形在内。

3-6.以上是PASCAL六边形六个点的分布的8个不等价类的图形表示

3-7.以上是考察区分PASCAL六边形所需的各种参数（举例说明）

3-8.以上讨论了PASCAL多边形与完全多边形的关系

4.以上是内接在椭圆的60个PASCAL六边形,点击其中任意一个,就可进入统一的验证程序（如后面图VP1所示）,对该图进行PASCAL定理的验证。

5.以上是内接在双曲线的60个PASCAL六边形.点击其中任意一个,就可进入统一的验证程序,对它进行PASCAL定理的验证

6.以上是内接在抛物线的60个PASCAL六边形.点击其中任意一个,就可进入统一的验证程序,对它进行PASCAL定理的验证

7.以上是6点分布在2条相交直线上的60个PASCAL六边形。点击其中任意一个,就可进入统一的验证程序,对它进行PASCAL定理的验证

8.以上是6点分布在2条平行直线上的60个PASCAL六边形。点击其中任意一个,就可进入统一的验证程序,对它进行PASCAL定理的验证

9-1.以上是全部12种不同的五边形，不含重合点

9-2.以上介绍五边形的生成，对五边形应用PASCAL定理需要把其中一点看成2重点，总共凑成6点。2重点中的两个点相连，就是该点的切线

9-3.以上介绍12种五边形内接在5种圆锥曲线形成的60种PASCAL六边形。点击其中任意一个,就可对它进行PASCAL定理的验证

10-1.以上说明不同四边形只有3种，但加入不同的重点后可形成9种PASCAL六边形，再应用于5种圆锥曲线，共有45种不同特例。

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10.2. 45种不同四边形。到此我们已得到5*60个六边形，60个五边形，45个四边形，总共已有405个Pascal定理适用的多边形。

11. 最后考察三边形，三边形只有1种，但6点重合方式有3种，并可应用于5种曲线类型，所以共有15种Pascal定理适用的多边形，不再细说。

PASCAL六边形的总结：

这样，我们将各种多边形加起来一共已有了420个（但三边形15个仅画内接于椭圆和抛物线上的6个，所以画出的实际为411个），它们可以带或不带重点，若 将k-重点看成k个点 ， 切线看做边 ，它们都变成六边形：退化和不退化的Pascal六边形。要证明Pascal定理成立，就必须证明它对所有420个6边形都成立，因420是个有限数字，我们可以对其进行1-1验证。

下面就转来考察如何对上面所列的400多种多边形（包括六边、五边、四边、三边）统一进行PASCAL定理的验证。

VP1.  以上为PASCAL定理统一验证程序的画面。它能对上面所列的任意多边形进行验证，

验证过程可以按菜单从左到右次序一步一步地步进式进行，也可以全自动地一步完成。

【注】 本窗体（Form2）是点选前面图4~11中某多边形后自动弹出的，无法独立调用。

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VP2.  以上是对上图（即图4第13六边形）作PACAL定理验证的 结果,3组对边交点L,M,N在一直线上。其中点M为23与56两个平行边之交点在无穷远，实际无法画出来，因这两边与LN也平行，即此无穷远点也LN的交点，如左上角说明。

【注】只要交点M在LN延长线上，在无穷远是允许的，因为这是射影空间的定理。而且还应注意，在无穷远的交点可以是1个也可以是2个或3个。也就是说，有限点不是3个，而只有2个、1个或0个的情况都允许出现。

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VP3.   以上为对图4中编号为136425的六边形的验证结果，显示3组对边交点L,M,N也在一直线上

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VP4.  以上对图4编号为134625的六边形作PASCAL定理验证，L,M,N在一直线上，但N为ML方向的无穷远点

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VP5.以上为对图4中编号为123456的六边形的PASCAL定理验证，L,M,N在一直线上，但三点都在无穷远

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VP6.  以上是对图5中双曲线上123564六边形作PASCAL定理验证，L,M,N在一直线上

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VP7.  以上是对双曲线上123465六边形的PASCAL定理验证。L,M,N在一直线上，
其中M(23-56交点)是LN方向的无穷远点，无法画出来

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VP8.  以上是对抛物上125634六边形的PASCAL定理验证。L,M,N在一直线上，
M（23-56交点）是LN方向的无穷远点

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VP9. 以上是对相交直线上125463六边形的PASCAL定理验证。L,M,N在一直线上

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VP10.  以上是对平行线上125436六点构成的六边形的PASCAL定理的验证。L,M,N在一直线上

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VP11a. 以上对图9.3中五边形12534作Pascal定理分步验证.已求出L,M,N（N在屏幕外）但未连线。
因其中1点和6点重合在一起构成一个2-重点，故1点与6点的连线是该2-重点的切线。

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VP11b. 以上对上图的五边形12534作Pascal定理全自动验证.求出对边交点L,M,N后并又作了连线

其中 12与45的交点L在(-1282,2941),虽然不是无穷远点，但离开屏幕已经很远很远。

最后我们再来看一个图：

VP12.  以上是对 图4的第一个图形、 编号为 123456 的六边形作PASCAL定理的全自动 验证，图形的三组对边分别相互平行，即L,M,N三点均在无穷远！但三组边的三个无穷远点所在的共同直线就是无穷远直线。但三个不同方向的无穷远点怎么会在一条直线上呢？ 这有点像地平线，地球上只有一条地平线，同样， 射影平面上只有一条无穷远直线， 这一点可能难于理解，这牵涉到射影几何在欧几里得几何中的的模型问题。这里不详细说明了。

交互形式的验证不再举例。下面介绍Pascal定理的自动批量验证。

12-4.0. 以上是 Pascal 定理自动演示程序-1（封面）。类似程序共有3个，分别对内接于椭圆、双曲线、抛物线的60个六边形进行自动1-1验证

12-4.1.以上是进入Pascal定理自动演示程序（一）后所见的一个画面，红线为PASCAL线

12-4.2.以上是进入Pascal定理自动演示程序（一）所见的另一个画面 ，红线为PASCAL线

12-4.3. 以上是进入Pascal定理自动演示程序（一）所见的又一个画面，类似地一共有60个画面

12-4.4. 以上是用 Pascal 定理自动演示程序（一）将内接于椭圆的所有60个六边形的Pascal 线叠加在一起显示，这就是一迷魂阵。

12-5.1. 以上是进入Pascal定理自动演示程序（二）所见的一个画面，类似地可对60个内接于双曲线的六边形进行自动验证

12-5.2. 以上是用 Pascal 定理自动演示程序（二）将双曲线上的六边形的60条Pascal 线叠加在一起显示构成迷魂阵。

12-6.1. 以上是用 Pascal 定理自动演示程序（三）将抛物线上60个六边形的Pascal 线叠加在一起显示构成迷魂阵。

以下进一步讨论和60条PASCAL线有关的点、线和定理。

13-7. 另一独立程序。上图是点击右边60 Pascal Ln按钮所得。它也画出了内接于园内基本六边形的60条Pascal线。此图叫PascalHexagrammum Mysticum （Pascal六角迷魂图），可从内接于任意圆锥线的任意6点生成。与此图相关有很多重要概念，包括：Steiner点, Pluker线, Kirkman点, Cayley线, Salmon点。这些点与线的关系可参看下图

（以上图形若因外框限制被缩小，不清晰，请用鼠标点击以上图形，可以放大为1:1的原始尺寸来清晰显示）

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本图右半边，从上到下，由6点出发，依次引出15条边（旁边和下面所注红黑数字6,5,2代表：6个点，每点和其余5点相连，6*5=30边，但要2点形成1边，边数被重复计算，所以6*5后要除2，得到15，才是边的数目。其余意义相同）, 45个对边交点（edge meet）, 60条Pascal线, 然后分支出20个Steiner点 和 15条Pluker线, 或者. 60个Kirkman点, 20条Cayley线, 15个Salmon点 。图的左半边的线和点 是右半边的点或线的对偶. 例如左边60个Brianchon点是右边60条Pascal线的对偶。要弄清这些点线的概念和相互关系不容易,还有许多定理要了解。可参看网站 http://www.paideiaschool.org/teacherpages/steve_sigur/resources/pascal2/index.html

下面来考察Steiner定理和15个Steiner点，从60条Pascal线到15个Steiner点，中间要经过15个edge和45个edgemeet两步。

13.8a.以上是译者为考察上述点线关系开发的软件。这里介绍 Steiner定理及其验证。 Steiner定理说：60条 Pascal线分20组、每三条交于一 Steiner点。 底下一行的20个按钮代表要找的Steiner点。点击其中任意按钮在左表中就会查到三个二位数编码, 根据这三个编码可从顶部表中找出三个六边形, 然后在右边三图分别画出这些六边形及对应的Pascal线, 最后在中间的大图中将三个六边形和三条线叠加在一起, 并证明三线交于一点, 此即Steiner点。60条 Pascal线如何划分20组请看下一页的说明, 定理证明请看 http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PascalLines.shtml#Explanation

13.8b.以上是 Steiner定理用到的20个三数组的划分方法（详细步骤说明）,每一组对应于三条 Pascal线并相交于一个 Steiner点

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13c. 一个专用于 Steiner定理验证的简单软件。用法及图形的意义见图上部中间一栏的说明。

其余点线不再讨论。下面转来讨论二次曲线作图问题，包括利用或不利用Pascal定理在内。

13-0. 以上是圆锥曲线作图法的分类，以及一些具体的作图问题例子，下面将具体介绍两个。

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13-9.以上是用左上、右下2点交互制作标准型圆锥曲线的程序。其中2条直线（平行或交叉）是代表退化的圆锥曲线

13-10.PASCAL定理重要应用就是作图。以上是接应用PASCAL定理任选五点直接制作的两种圆锥曲线（见Lehmer书上74节）。这些曲线不够光滑，需要改进，一种改进法就是间接作图，即根据5点坐标用Gauss消元法求出圆锥曲线方程，然后就可以像前面画标准圆锥曲线那样， 逐点画出非常精细的曲线。

上图中除了曲线上的 1-5 五点之外，还有两个标有字母 L 的点，它们分别在所作椭圆和双曲线曲线之下，是作图需要的辅助点，详细不再进一步解释。

下面我们转入Pascal定理证明的讨论。

14-2. PASCAL定理证明方法很多,除了书上的射影几何证明方法外,还可以用初等几何法或解析法证明。 初等几何证明法网上可以搜到很多,但证明过程都很繁琐,我们这里不再介绍。上面图中给出的是解析法证明，可以看出，过程很简单，但理解也不容易。另外只是就圆来证明的，一般二次曲线的证明还应利用圆和二次曲线可以射影对应的事实。

【注1】本证明参照网页 http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PascalLines.shtml#Explanation翻译得到,，符号有所变动，4个插图为译者所加。
【注2】射影几何证明方法Lehmer 的书上就是，我们这里不再重复，但其实也应补充说明一点：任意二次曲线上对任意Pascal六边形的Pascal定理的证明也可以射影对应，这样才会使读者看了以后感到踏实。后一证明可以参考Cremona的书。

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