【分治+二维偏序】CC_SUMDIS Sum of distances

【题目】
codechef
有一个$n$个点的$\text{DAG}$。

• 如果$i\le n-1$，$i$到$i+1$有一条边权为$a_i$的有向边。
• 如果$i\le n-2$，$i$到$i+2$有一条边权为$b_i$的有向边。
• 如果$i\le n-3$，$i$到$i+3$有一条边权为$c_i$的有向边。

设$d(s,t)(s<t)$表示$s$到$t$的最短路，求$\sum d(s,t)$。
$n\le 10^5,a_i,b_i,c_i\le 10^4$

【解题思路】
观察到如果我们将任意三个连续的点删去，那么剩下图被分成了左右两部分，即这三个点是必经点。
不妨考虑分治，我们分别求出这三个点到左右所有点的最短路，接下来我们设$s$到三点最短路分别为$x_1,x_2,x_3$，三点到$t$最短路分别为$y_1,y_2,y_3$，那么若选第一个点最优，可以得到$x_1-x_2\le y_2-y_1,x_1-x_3\le y_3-y_1$，这就是一个二维偏序问题了。
复杂度$O(n{\log }^{2}n)$。
神tm三种情况要分开打，我表示要偷懒。
没错下面是假的CDQ

【参考代码】

#include
#define mkp make_pair
#define fi first
#define se second
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pii;
const int N=1e5+10,INF=0x3f3f3f3f;

namespace IO
{
	int read()
	{
		int ret=0;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)) c=getchar();
		while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
		return ret;
	}
	void write(ll x){if(x>9)write(x/10);putchar(x%10^48);}
	void writeln(ll x){write(x);putchar('\n');}
}
using namespace IO;

namespace DreamLolita
{
	int n,cnt;
	int a[N],b[N],c[N],B[N],disl[N],dism[N],disr[N];
	ll ans;
	struct data
	{
		int x,y,v;
		data(int _x=0,int _y=0,int _v=0):x(_x),y(_y),v(_v){}
		bool operator <(const data&rhs)const{return x==rhs.x?y<rhs.y:x<rhs.x;}
	}A[N];
	pii operator +(const pii&x,const pii&y){return mkp(x.fi+y.fi,x.se+y.se);}
	struct BIT
	{
		pii C[N];
		void clear(){for(int i=1;i<=cnt;++i)C[i]=mkp(0,0);}
		void update(int x,int v)
		{
			for(;x<=cnt;x+=lowbit(x)) C[x].fi++,C[x].se+=v;
		}
		pii query(int x)
		{
			pii res=mkp(0,0);
			for(;x;x-=lowbit(x)) res=res+C[x];
			return res;
		}
	}bit;
	void getdis(int x,int *dis,int l,int r)
	{
		for(int i=l;i<=r;++i) dis[i]=INF; dis[x]=0;
		for(int i=x;i<=r;++i) 
		{
			if(i<=n-1) dis[i+1]=min(dis[i+1],dis[i]+a[i]);
			if(i<=n-2) dis[i+2]=min(dis[i+2],dis[i]+b[i]);
			if(i<=n-3) dis[i+3]=min(dis[i+3],dis[i]+c[i]);
		}
		for(int i=x;i>=l;--i)
		{
			if(i>1) dis[i-1]=min(dis[i-1],dis[i]+a[i-1]);
			if(i>2) dis[i-2]=min(dis[i-2],dis[i]+b[i-2]);
			if(i>3) dis[i-3]=min(dis[i-3],dis[i]+c[i-3]);
		}
	}
	int getp(int x){return lower_bound(B+1,B+cnt+1,x)-B;}
	void calc(int *d1,int *d2,int *d3,int l,int r,int v0,int v1)
	{
		int mid=(l+r)>>1;cnt=0;
		for(int i=l;i<=mid-2;++i)
		{
			A[i]=data(d1[i]-d2[i],d1[i]-d3[i],d1[i]);
			B[++cnt]=A[i].y;
		}
		for(int i=mid+2;i<=r;++i)
		{
			A[i]=data(d2[i]-d1[i],d3[i]-d1[i],d1[i]);
			B[++cnt]=A[i].y;
		}
		sort(B+1,B+cnt+1);cnt=unique(B+1,B+cnt+1)-B-1;
		sort(A+l,A+mid-1);sort(A+mid+2,A+r+1);
		for(int i=mid+2,j=l;i<=r;++i)
		{
			for(;j!=mid-1 && A[j].x+v0<=A[i].x;++j) bit.update(getp(A[j].y),A[j].v);
			pii t=bit.query(getp(A[i].y)-v1);ans+=1ll*A[i].v*t.fi+t.se;
		}
		bit.clear();
	}
	void CDQ(int l,int r)
	{
		if(l==r) return;
		if(l+1==r) {ans+=a[l];return;}
		int mid=(l+r)>>1;
		CDQ(l,mid-1);CDQ(mid+1,r);
		getdis(mid-1,disl,l,r);getdis(mid,dism,l,r);getdis(mid+1,disr,l,r);
		for(int i=l;i<=r;++i) ans+=dism[i];
		for(int i=mid+1;i<=r;++i) ans+=disl[i];
		for(int i=l;i<=mid-2;++i) ans+=disr[i];
		calc(disl,dism,disr,l,r,0,0);
		calc(dism,disl,disr,l,r,1,0);
		calc(disr,disl,dism,l,r,1,1);
	}
	void solve()
	{
		n=read();ans=0;
		for(int i=1;i<=n-1;++i) a[i]=read();
		for(int i=1;i<=n-2;++i) b[i]=read();
		for(int i=1;i<=n-3;++i) c[i]=read();
		CDQ(1,n);writeln(ans);
	}
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("CC_SUMDIS.in","r",stdin);
	freopen("CC_SUMDIS.out","w",stdout);
#endif
	int T=read();
	while(T--) DreamLolita::solve();
	return 0;
}