有关计数问题的dp

1、划分数
有 n 个无区别的物品，将它们划分成不超过 m 组，求出划分方法数模 M 的余数。
dp[i][j] 表示 j 的 i 划分的总数
考虑 n 的 m 划分 ai(∑i=1mai=n) ，如果对于每个 i 都有 ai>0 ，那么 ai−1 就对应了 n−m 的 m 划分。另外，如果存在 ai=0 ，那么这就对应了 n 的 m−1 划分。综上可得
dp[i][j]=dp[i][j−1]+dp[i−1][j]

void solve()
{
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(int j=0;j<=n;j++)
        {
            if(j-i>=0) dp[i][j]=(dp[i][j-i]+dp[i-1][j])%MOD;
            else dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    }
}

2、多重集组合数
有 n 种物品，第 i 种物品有 ai 个。不同种类的物品可以互相区分但相同种类的无法区分。从这些物品中取出 m 个的话，有多少种取法？

dp[i+1][j] 表示从前 i 种物品中取出 j 个的组合总数，可得
dp[i+1][j]=∑k=0min(j,a[i])dp[i][j−k]
当 j>ai 时
dp[i+1][j]=∑k=0min(j−1,a[i])dp[i][j−1−k]+dp[i][j]−dp[i][j−1−ai]
当 j≤ai 时
dp[i+1][j]=∑k=0min(j−1,a[i])dp[i][j−1−k]+dp[i][j]

void solve()
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        dp[i][0]=1;
    }
    for(int i=0;ifor(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(j-1>=a[i]) dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j]-dp[i][j-1-a[i]+MOD)%MOD;
            else dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j])%MOD;
        }
    }
}