CCPC-Wannafly Winter Camp Day7 D-二次函数
题目描述
给定三个二次函数
f ( x ) = x 2 + a 1 x + b 1 , g ( x ) = x 2 + a 2 x + b 2 , h ( x ) = x 2 + a 3 x + b 3 \begin{array}{c} f(x)=x^2 +a_1x+b_1 , g(x)=x^2 +a_2x+b_2 , h(x)=x^2+a_3x+b_3 \end{array} f(x)=x2+a1x+b1,g(x)=x2+a2x+b2,h(x)=x2+a3x+b3
你需要找三个整数 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3使得 f ( x 1 ) , g ( x 2 ) , h ( x 3 ) f(x_{1}),g(x_{2}),h(x_{3}) f(x1),g(x2),h(x3) 这三个数中至少有两个数相同
输入描述
第一行一个正整数 T 表示数据组数(1≤T≤104)
接下来 T 行，每行三个六个整数 ，保证每个数的绝对值都小于等于 10^4
输出描述
输出 T 行，每行三个整数 要求 ≤10^18
样例输入 1
1
1 1 1 2 1 3
样例输出 1
-2 0 -1
题意
需要找到在不同二次函数上且横坐标不同纵坐标相同的两个整数点，说白了就是找到整数对 ( x 1 , y ) , ( x 2 , y ) , x 1 ! = x 2 (x_1,y),(x_2,y),x_1!=x_2 (x1,y),(x2,y),x1!=x2,使以下任意式子成立即可
使得
x 1 2 + a 1 x + b 1 = x 2 2 + a 2 x 2 + b 2 x 1 2 + a 1 x + b 1 = x 2 2 + a 3 x 2 + b 3 x 1 2 + a 2 x + b 2 = x 2 2 + a 3 x 2 + b 3 \begin{array}{c} x_1^2 +a_1x+b_1 =x_2^2 +a_2x_2+b_2 \\ x_1^2 +a_1x+b_1 =x_2^2 +a_3x_2+b_3 \\ x_1^2 +a_2x+b_2 =x_2^2 +a_3x_2+b_3 \end{array} x12+a1x+b1=x22+a2x2+b2x12+a1x+b1=x22+a3x2+b3x12+a2x+b2=x22+a3x2+b3
第一步首先要满足在二次函数上的点（x，y）要是整数， y = x 2 + a x + b y=x^2+ax+b y=x2+ax+b，可见由整数x得到的y必然也是整数，但是要满足的是y值相等，所以写为反函数形式 x = − a ± a 2 − 4 b + 4 y 2 x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b+4y}}{2} x=2−a±a2−4b+4y
所以很显然，只需要把选择y值代入，即可得到不同的x。
第一个问题：需要保证 b 2 − 4 a c + 4 a y > 0 {b^2-4ac+4ay}>0 b2−4ac+4ay>0方程才有解，但是很可能某两个函数没有一个y值能够保证都有解，也就是说两个二次函数开口朝向不同并且在y轴投影上不重复。但是题目给出了三个二次函数，就保证了存在解。
第二个问题：需要保证 − a ± a 2 − 4 b + 4 y 2 \frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b+4y}}{2} 2−a±a2−4b+4y值是整数，也就需要 a 2 − 4 b + 4 y \sqrt{a^2-4b+4y} a2−4b+4y是个整数，而且和a还必须同奇偶性，才能保证最终是整数。所以问题就转化为了找到y值使得 a 1 2 − 4 b 1 + 4 y {a_1^2-4b_1+4y} a12−4b1+4y, a 2 2 − 4 b 2 + 4 y {a_2^2-4b_2+4y} a22−4b2+4y同时为一个平方数（以前两个函数为例）。这个问题当然不能穷举，首先设
Δ = a 2 − 4 b \Delta=a^2-4b Δ=a2−4b
则设 Δ 1 + 4 y = A 2 ， Δ 2 + 4 y = B 2 {\Delta_1+4y}=A^2，{\Delta_2+4y}=B^2 Δ1+4y=A2，Δ2+4y=B2
我们知道平方差公式
A 2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B ) = Δ 1 − Δ 2 = K ⋯ ⋯ ( 1 ) A^2-B^2=(A-B)(A+B)=\Delta_1-\Delta_2=K\cdots\cdots(1) A2−B2=(A−B)(A+B)=Δ1−Δ2=K⋯⋯(1)
因为 Δ 1 , Δ 2 \Delta_1,\Delta_2 Δ1,Δ2都是已知的，所以 K K K值可直接算出，由（1）式可知， ∣ A − B ∣ , ∣ A + B ∣ |A-B|,|A+B| ∣A−B∣,∣A+B∣都为 K K K的因子，所以就转换为了找到 ∣ K ∣ |K| ∣K∣的因子，当然因子也是要符合一定条件的，为保证 A ， B A，B A，B都是整数，所以 ∣ A − B ∣ , ∣ A + B ∣ |A-B|,|A+B| ∣A−B∣,∣A+B∣必须要有相同的奇偶性。即分解 K K K为两数乘积，保证两数具有相同奇偶性，然后算出A，B后还需要判断A，B与a是否具有相同奇偶性。如都具相同奇偶性，则答案就得出了。
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mmax=1e4+1000;
int a[3][2];
//ll in[mmax];
ll ans[3];
ll x,y;
bool judge(int a,int a1,int a2,int flag)
{
int kk=sqrt(a);
for(int i=1; i<=kk; i++)
{
if(a%i==0)
{
if((a/i+i)%2==0)
{
x=(a/i+i)/2;
y=(a/i-i)/2;
//cout<tmp2))
{
// cout<tmp2)
{
ans[i]=(x-a[i][0])/2;
ans[j]=(y-a[j][0])/2;
}
else
{
ans[i]=(y-a[i][0])/2;
ans[j]=(x-a[j][0])/2;
}
flag=1;
break;
}
}
if(flag)
break;
}
printf("%lld %lld %lld\n",ans[0],ans[1],ans[2]);
}
return 0;
}