PyTorch 随机梯度下降

梯度

1. 导数 （标量）
2. 偏微分 （函数延某个方向的变换量 标量）
3. 梯度 （函数变化量最大的方向 向量）
   梯度的意义：模为变换率大小，矢量方向。

如何求取最小值：梯度下降
$${\theta }_{t+1}={\theta }_t-{\alpha }_t\nabla f({\theta }_t)$$

影响优化器优化精度的两个重要因素：

1. 局部极小值
2. 鞍点
   凸函数才会有全局最小值，通常情况下存在局部极小值。
   （ResNet-56 论文-2018 何凯明）

影响优化器搜索过程效果的因素：

1. 初始化状态
2. 学习率
3. 动量（逃离局部极小值）
4. …

常见函数的梯度

函数类型	函数	导数
常函数	c	0
线性函数	ax	a
二次函数	$a{x}^2$	2ax
幂函数	$x^a$	$a{x}^{a-1}$
指数函数	$a^x$	$a^{x}lna$
指数函数	$e^x$	$e^x$
对数函数	$lo{g}_a(x)$	$1/(xlna)$
对数函数	lnx	1/x
三角函数	sin(x)	cos(x)
三角函数	cos(x)	sin(x)
三角函数	tan(x)	sec(x)

激活函数

1. Sigmoid/Logistic 会伴随严重的梯度弥散现象（长时间梯度的不到更新）。
   $$f(x)=\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}[0,1]$$
   
   求导：
   

z = torch.linspace(-100,100,5)
z #tensor([-100., -50., 0., 50., 100.])
torch.sigmoid(z) #tensor([0.00e+00, 1.92e-22, 5.00e-01, 1.00e+00, 1.00e+00])

2. tanh 常用于循环神经网络
   $$f(x)=tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=2sigmoid(2x)-1[-1,1]$$
   
   求导：
   $$\frac{d}{dx}tanh(x)=1-tan{h}^2(x)$$

z = torch.linspace(-2, 2, 5)
z #tensor([-2., -1., 0., 1., 2.])
torch.tanh(z) #tensor([-0.9640, -0.7616, 0.0000, 0.7616, 0.9640])

3. ReLu Rectified Linear Unit 整形的线性单元 (最常用的激活函数)
   
   

z = torch.linspace(-2, 2, 5)
z #tensor([-2., -1., 0., 1., 2.])
torch.relu(z) #tensor([0., 0., 0., 1., 2.])

Loss 损失函数的梯度

典型的损失函数：

• Mean Squared Error(均方误差)
• Cross Entropy Loss(交叉熵损失)
  • 可用于二分类
  • 可扩展为多分类
  • 常与 softmax 函数搭配使用

1. Mean Squared Error( 均 方 误 差 )
   • $loss=\sum (y-(w\ast x+b){)}^2$
     $loss=norm(y-(w\ast x+b){)}^2$
   • $\frac{\nabla loss}{\nabla \theta }=2\sum (y-f_{\theta }(x))\ast \frac{\nabla f_{\theta }(x)}{\nabla \theta }$
   • Gradient API:

1.torch.autograd.grad(loss, [w1, w2, ...])
[w1 grad, w2 grad, ...]
2.loss.backward()
w1.grad
w2.grad
...
#Mean Square Error (MSE)
x = torch.ones(1)
y = torch.ones(1)
w = torch.full([1], 2, requires_grad=True)
mse = F.mse_loss(y,w*x) #(y-w*x)
mse #tensor(1., grad_fn=)
#1.auto.grad (requires_grad)
torch.autograd.grad(mse, w) #(tensor([2.]),)
#2.backward
mse = F.mse_loss(y,w*x) #(y-w*x)
mse.backward()
w.grad #tensor([2.])

2. Cross Entropy Loss( 交 叉 熵 损 失)

3. Softmax
   $$p_i=\frac{e^{a_i}}{{\sum }_{k=1}^N{e}^{a_k}}$$
   

   1. 转移成概率值
   2. 拉大值之间的差距

Softmax 求导：

得到：


$$\frac{\partial p_i}{\partial a_j}=p_i({\delta }_{ij}-p_j)$$

from torch.nn import functional as F
a = torch.rand(3, requires_grad=True)
p = F.softmax(a, dim=0)
a #tensor([0.4588, 0.0768, 0.0897], requires_grad=True)
p #tensor([0.4212, 0.2875, 0.2912], grad_fn=)
torch.autograd.grad(p[0], a, retain_graph=True) #output scalar
#(tensor([ 0.2438, -0.1211, -0.1227]),)