【总结】最长连续子序列详细解法汇总
求最长连续子序列的模板题：HDU 1003 Max Sum
Problem Description
Given a sequence a[1],a[2],a[3]…a[n], your job is to calculate the max sum of a sub-sequence. For example, given (6,-1,5,4,-7), the max sum in this sequence is 6 + (-1) + 5 + 4 = 14.
Input
The first line of the input contains an integer T(1<=T<=20) which means the number of test cases. Then T lines follow, each line starts with a number N(1<=N<=100000), then N integers followed(all the integers are between -1000 and 1000).
Output
For each test case, you should output two lines. The first line is “Case #:”, # means the number of the test case. The second line contains three integers, the Max Sum in the sequence, the start position of the sub-sequence, the end position of the sub-sequence. If there are more than one result, output the first one. Output a blank line between two cases.
Sample Input
2
5 6 -1 5 4 -7
7 0 6 -1 1 -6 7 -5
Sample Output
Case 1:
14 1 4
Case 2:
7 1 6
Author
Ignatius.L
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思路：题目大意，给定一个数组，a[1], a[2], …, a[n]，求它的一个连续子序列，使得这个连续子序列的和最大。方法很多，可以暴力求解，也可以用动态规划求解。
第一种：暴力 O(N^3)
这种方法最直观，用三层循环遍历所有的连续子序列，不断的比较，取和最大的一段连续子序列，同时记录子序列的起始、结束索引。但是这种方法会TLE。
代码如下：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e6;
int a[maxn];
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
int t; cin>>t;
for(int k=1;k<=t;k++){
int n; cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
int start=0,end=0;
int ans=-INF;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j++){
int sum=0;
for(int h=i;h<=j;h++)
sum+=a[h];
if(sum>ans){
ans=sum;
start=i;
end=j;
}
}
}
cout<<"Case "<<k<<":"<<endl;
cout<<ans<<" "<<start<<" "<<end<<endl;
}
}
第二种：暴力+预处理 O(N^2)
这种方法比第一种复杂度低，两层循环。数组sum[i]先全部初始化为0，然后求出从a[0]开始到a[i]的和sum[i] (0<=i<=n)。然后双层循环，求出差值sum[j]-sum[i]，即连续子序列之和。同时，不断的比较，取和最大的一段连续子序列，记录子序列的起始、结束索引。不幸的是，这种方法也会TLE。
代码如下：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e6;
int a[maxn],sum[maxn];
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
int t; cin>>t;
for(int k=1;k<=t;k++){
int n; cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
int start=0,end=0;
int ans=-INF;
for(int i=0;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
int x=sum[j]-sum[i];
if(x>ans){
ans=x;
start=i+1;
end=j;
}
}
}
cout<<"Case "<<k<<":"<<endl;
cout<<ans<<" "<<start<<" "<<end<<endl;
}
}
第三种：暴力 O(N^2)
这种方法思路其实跟前两种差不多，用双层循环遍历，求连续子序列之和。时间复杂度还是O(N^2)，所以很不幸，又TLE了。
代码如下：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e6;
int a[maxn];
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
int t; cin>>t;
for(int k=1;k<=t;k++){
int n; cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
int start=0,end=0;
int ans=-INF;
for(int i=1;i<=n;i++){
int sum=0;
for(int j=i;j<=n;j++){
sum+=a[j];
if(sum>ans){
ans=sum;
start=i;
end=j;
}
}
}
cout<<"Case "<<k<<":"<<endl;
cout<<ans<<" "<<start<<" "<<end<<endl;
}
}
第四种：累积遍历求和 O(N)
给定数组，a[0], a[1], …, a[i], …,a[j], …, a[n-1]，设S[i,j] = a[i]+a[i+1]+…+a[j]，如果S[i, j] + a[j+1] < a[j+1]，即S[i, j]<0， 则连续子序列{a[i], …, a[j], a[j+1]}这个子序列的和一定是最大的，所以子序列{a[i], …, a[j]}就不需要增长了，而应从a[j+1]开始重新增长子序列。
一层循环，时间复杂度O(N)，终于AC了。要注意的就是输出格式，容易PE。
AC代码如下：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e6;
int a[maxn];
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
int t; cin>>t;
for(int k=1;k<=t;k++){
int n; cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
int ans=-INF,sum=0;
int start=1,end=0;
int starttemp=1,endtemp=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
sum+=a[i];
endtemp++;
if(sum>ans){
ans=sum;
start=starttemp;
end=endtemp;
}
if(sum<0){
sum=0;
starttemp=i+1;
endtemp=i;
}
}
cout<<"Case "<<k<<":"<<endl;
cout<<ans<<" "<<start<<" "<<end<<endl;
if(k!=t) cout<<endl; //有点坑
}
}
后续待更新